Unveil the mystery of

Unveil the mystery of <<Trisecting Angle>> problem

Wang Changyuan

Summary : As it is known to all, the <<Trisecting Angle>> problem has long been a mystery. Yet, for any given angle E(360 ° ≥ E>0 °), the trisection angle of angle E is already decided. This thesis introduces a <<Three free points natural convergence method>> 1, which is a method to trisect any angle E using <<Ruler and Compasses Construction>> according to the <<Construction Public Law>>.

Key Words: trisect angle; three free points natural convergence method; ruler and compasses construction.

This thesis consists of two parts: 1, Graphic Construction; 2, Calculation and Demonstration

1. Graphic Construction

Give a random angle E. Specify Angle E' s position in the plane rectangular coordination system.

a . Suppose: Angle E' s vertex angle is Point O. The vertex of one side is Point X and the vertex of another side is Point y'. Namely: ∠ XOy'= E. (According to chart 1) .

b. Prolong Side XO with a ruler; take Point O as the midpoint; the prolonged side is in the opposite direction to Point X. Suppose: the direction of Point O to Point X is the positive direction and the prolonged side is along the negative direction. Take Side OX as the axis X of the plane rectangular coordination system. Take Point O as the center point and r as the radius and draw a circle. The arc and axis X intersect at Point A in the positive direction and at Point A' in the negative direction.

c. Take Point A and A' respectively as the center points and take R as the radius( R> r), draw circles. There are two intersection points on the arcs of the two circles. Take the intersection point above axis X as Point F; the intersection point below axis X as Point F'. Draw a straight line passing Point F and F' and as a result, the line definitely passes Point O( the diagonals of rhombus are orthogonal). That is: FF' ⊥ AA'. Take the direction of the Line FF' above Point O as the positive direction and below as the negative. Make one point on the positive direction of Line FF' as Point Y, which make: OY=OX. Thus, the new plane rectangular coordination system YOX is established.

d. Now divide Angle E' s position in the YOX( plane rectangular coordination system) into three areas. 1. 90° ≥ E>0 °; 2. 180° ≥ E>90 °; 3. 360° ≥ E>180 °. (According to chart 2) .

e. Take r as the radius (r is the random given value) in the following graphic construction. The detailed construction is omitted.

f. Suppose 90 ° ≥ E>0 ° in the following construction. Take Point Q(i), a free point on axis X, as the circle center point and use a pair of compasses to draw a circle; the arc intersects the straight line L2. Take Point Q'( i), a free point on Straight line Oy' as the circle center point to draw a circle; the arc intersects the straight line L1. Normally, each has two intersection points. (When E=90 ° there' s only one intersection point). Name the two intersection points on the straight line L2 as Point R(i) and Point r(i), make |BR(i)|>|Br(i)|, Point r(i) is a point on Line segment BR(i). In a similar way, the two intersection points on the straight line L1 are Point R'( i) and Point r'( i), make| AR'( i)|>| Ar'( i)|; Point r'( i) is a point on Line segment AR'( i). But the method that this thesis introduces only uses Point R( i) on the straight line L2 and Point R'( i) on the straight line L1 and Point r( i) and Point r'( i) are ignored. (According to chart 3). (Mainly in the construction 1.1.5-1.1.8 below). The detailed construction is omitted.

g. In the constructions below, a random Angle E is given and E=e1+e2+e3.

1.1.1 While 90 ° ≥ E>0 °: Take Point O as the center point to draw a circle; the arc intersects with axis X at Point A and intersects the straight line Oy' at Point B.

1.1.2 Take Point A and Point B as the circle center points to draw circles; the two arcs intersect at Point Z. (There is another intersection Point O, which is neglected). Connect Point O and Z, then Line segment OZ is the angular bisector of Angle E..

1.1.3 Draw straight line L1 that passes Point A and Z and straight line L2 that passes Point B and Z, respectively. Point Z is the intersection point of the straight lines L1 and L2. In the quadrilateral OAZB, because OA=AZ=BZ=OB=r, so OAZB is a parallelogram (rhombus); OA//L2,OB//L1. (according to chart 4) .

1.1.4 Make Point z' the intersection point of the straight lines OZ and Arc AB. The distribution of the three free points( P( i). P'( i), Q( i). Q'( i), R( i). R'( i)) are: a , Point P( i) and Point P'( i) are free points respectively on Arc Az' and Arc Bz'( in which P(1) and P'(1) are any points respectively on Arc Az' and Arc Bz'), b, Point Q( i) and Point Q'( i) are free points respectively on axis X and straight line Oy'; c, Point R( i) and R'( i) are free points respectively on straight line L2 and straight line L1. (i=1,2,3 …).

1.1.5 Take Point P( i), a free point on Arc Az' as the center to draw a circle( in which the initial point P(1) is a random point on arc Az'), the arc intersects with axis X at Point Q( i)( The other intersection Point O on axis X is ignored). Take Point Q(i) as the center point to draw a circle; the arc intersects with straight line L2 at Point R(i) (The other intersection Point r(i) is ignored). Connect Points O and R( i) and the straight line OR( i) and Arc Az' intersect at Point P( i+1).

1.1.6 Take P(i+1) as the center point to draw a circle.

a. While lim| P( i+1) – P( i)| ≠ 0( P( i+1) takes the place of P( i) in process 1.1.5. ), repeat process1.1.5.

b. While lim| P( i+1) – P( i)|=0, lim| Q( i+1) – Q( i)|=0, lim| R( i+1) – R( i)|=0, then P( i+1) coincides with P( i) ,P(i+1)=P(i).then Q( i+1) coincides with Q( i),Q(i+1)=Q(i).then R( i+1) coincides with R( i),R(i+1)=R(i). the P( i) is a fixed point on the straight line OR( i+1), make ∠ XOR( i)= e1.

1.1.7 Take a free point, Point P'( i) on Arc Bz' as the center point to draw a circle;( in which the initial point P'(1) is a random point on arc Bz'), the arc intersects with the straight line Oy' at Point Q'( i)( The other intersection Point O on Arc Oy' is ignored). Take Q'( i) as the center point to draw a circle, the arc intersects with the straight line L1 at Point R'( i)( The other intersection Point r'( i) is ignored). Connect Point O and R'( i); Straight line OR'( i) and Arc Bz' intersect at Point P'( i+1).

1.1.8 Take Point P'( i+1) as the center point to draw a circle.

a. While lim| P'-( i+1) P'( i)| ≠ 0( Point P'( i+1) replaces Point P'( i) in process 1.1.7. ), repeat process1.1.7.

b. While lim| P'( i+1) – P'( i)|=0, lim| Q'( i+1) – Q'( i)|=0, lim| R'( i+1) – R'( i)|=0, then P'( i+1) coincides with P'( i) ,P'(i+1)=P'(i).then Q'( i+1) coincides with Q'( i),Q'(i+1)=Q'(i).then R'( i+1) coincides with R'( i),R'(i+1)=R'(i). the P'( i) is a fixed point on the straight line OR'( i+1), make ∠ y' OR'( i)= e3, ∠ R( i) OR'( i)= e2. (According to chart 5).

1.1.9 (a) Prove the relationship of Angle e1, e2 and e3. Because: Triangle OR(i)Q(i) is divided into two isosceles, triangles OP(i)Q(i) and P(i)Q(i)R(i) by the straight line P(i)Q(i), in which |OP(i)|= |P(i)Q(i)|=|Q(i)R(i)|=r; so: e1= ∠ OQ( i) P( i). Because: ∠ Q( i) P( i) R( i)=2* e1( One exterior angle of a triangle equals to the sum of the other two adjacent interior angles) and in Triangle P( i) Q( i) R( i), ∠ Q( i) P( i) R( i)= ∠ Q( i) R( i) P( i), so: ∠ Q( i) R( i) P( i)=2* e1; ∠ Q( i) R( i) P( i)= ∠ Q( i) R( i) O. Respectively draw the perpendicular line passing Point B and R(i) to axis X; the foot of the perpendicular lines are respectively Point C and Point D in the Right Triangle OBC and Q(i)R(i)D. Because: |OB|=|Q(i)R(i)|=r , |BC|=|R(i)D|(the distances between the two parallel lines are equal).; so: Right Triangle OBC ≡ Right Triangle Q( i) R( i) D, ∠ R( i) Q( i) D= ∠ BOC= E. Bacause: ∠ R( i) Q( i) D= ∠ R( i) Q( i) X= E.∠ R( i) Q( i) X= ∠ OR( i) Q( i)+ e1=3* e1, so E=3* e1, e1= E/3. (according to chart 6 ).

In the same way, ∠ R'( i) Q'( i) y'= E=3* e3, e3= E/3. Because: E=e1+e2+e3, so: e2=E-e1-e3=E/3, then e1=e2=e3=E/3.

(b) As Point P(1) is a random point on Arc Az', will there be: P( i)-> Q( i)-> R( i)-> P( i+1)-> Q( i+1)-> R( i+1)-> ……, yet P(i+1) and P(i) will never coincide? The answer is negative. While 90 °>= E>0 °, use the graphical construction according to the<< three free points natural convergence method>> mentioned above, in finite construction steps, Point P( i+1) and P( i) will naturally coincide, e(i) converges E/3. This is an inevitable rule .

1.2.1 While 180 ° ≥ E>90 °, draw the angular bisector Oy'' of Angle E, make ∠ XOy''= ∠ y'' Oy'= E/2 , 90 °>= ∠ XOy''>0 °. Trisect the Angle XOy'', make ∠ XOy''= q1+ q2+ q3 and q1= q2= q3. Make: e1= q1+ q2, one side of Angle e1 coincides with axis X, the other side intersects the arc, which takes Point O as the circle center point, at Point P'( i). Take Arc AP'( i) as a fixed value in order to trisect Angle E by the corresponding arcs of e1, e2 and e3 on the arc with Point O as the circle center point. So, while 180 °>= E>90 °, just bisect Angle E and trisect the first subangle to( q1.q2.q3), take the arc q1+ q2 as a fixed value, Angle E can be trisected on the arc that takes the Point O as circle center point. Connect the intersection point on the trisected arc with the Point O, then the Angle E can be trisected.

1.3.1 While 360 ° ≥ E>180 ° , firstly quarter the Angle E, make ∠ XOy'''= E/4 , 90 °>= ∠ XOy'''>0 °. Trisect the Angle ∠ XOy''', make ∠ XOy'''= q1+ q2+ q3 and q1= q2= q3. Cut on the arc with Point O as the circle center point by the arc corresponding to q1+q2, then the arc that corresponds to the Angle E can be divided into six equal arcs. Take every two arcs as an e(i), then: the six arcs can be divided into e1, e2 and e3. So, when 360 °>= E>180 °, just quarter the Angle E and trisect the first quarter of the Angle E into q1, q2 and q3. Take the arc that corresponds with q1+q2 as a fixed value, then Angle E can be divided into six equal arcs by the arc with Point O as the circle center point. Take Point A, the intersection point of axis X and the arc as the initial point, connect the intersection point of every two equal arcs with Point O, then: the angle E can be trisected into (e1, e2 and e3).

2 Calculation

The calculation chapter of this thesis is composed of two parts.

1. Give an example for calculation. Trisect the angle E, E=0.123456789 ° .

2. List below the e( i, j) trisection computation result while E=0.1 ° . 0.2°. ……. 89.9° .90 °. ( i=1,2,3, ……。 j=1,2,3,4 )。

In the extraction computation:

a. In a common equation ; aX^2+bX+c=0, because: X1={-b+sqr(b^2-4*a*c)}/(2*a), X2={-b-sqr(b^2-4*a*c)}/(2*a),

only X1 is extracted in the calculation and the root of X2 is ignored.

b. In (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2, only (Xr-Xq)=sqr(r^2-(Yr-Yq)^2) is calculated and (Xr-Xq)=-sqr(r^2-(Yr-Yq)^2) is ignored.

c. In (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2, only (Xq-Xp)=sqr(r^2-(Yq-Yp)^2) is calculated and (Xq-Xp)=-sqr(r^2-(Yq-Yp)^2) is ignored.

(Because 90°≥ E>0°, take the intersection Point R'( i) on straight line L1 and the intersection Point R( i) on straight line L2, the intersection Point r'( i) and r( i) respectively on straight line L1 and L2 are ignored and the intersection point with the Point O is also ignored). There will be no repeated explanation below anymore.

2.1.1 Give a random Angle E(90°≥E＞0°). Firstly, specify Angle E’s position in the rectangular coordination system (According to chart 7). Their respective coordination points and linear equations are A( r ,0 ) , z’( Xz’ , Yz’) , B( Xb , Yb )，L2=Yb and linear equation is z'((1+sqr(1+k^2))/sqr((1+sqr(1+k^2))^2+ k^2)*r , k*r/sqr((1+sqr(1+k^2))^2+k^2). B( r/sqr(1+k^2),k*r/sqr(1+k^2)). L2=k*r/sqr(1+k^2). k=tgE .y'=k*x. . L1=k*(X-r). ……。

2.1.2 Because the initial point P(1) and P’(1) are random points on Arc Az’ and Bz’, in order to prove that Angle e( i ) finally converges the fixed value E/3, suppose P(1) and P’(1) are respectively the vertex points of Arc Az’ and Bz’.

Make: a, P1=A ( r , 0 ), then the calculated subangle of Angle E is e(i,1);

b, P1=z’( Xz’ ,Yz’), then the calculated subangle of Angle E is e(i,2).

c, P’1=z’( Xz’ ,Yz’), then the calculated subangle of Angle E is e(i,3).

d, P’1=B( Xb ,Yb), then the calculated subangle of Angle E is e(i,4). (i=1,2,3,…….).

(According to chart 8).

2.1.3 Make: Angle E=0.123456789°, radius r=9876543210, then straight slope k=tg( 0.123456789°)=0.00215473078668851. 　

A( 9876543210 , 0 ) . B(9876520282.35261,21281242.3177386), z'( 9876537478.08649 , 10640627.3342238 ).

L1=0.00215473078668851*(X-9876543210). L2=21281242.3177386. y'=0.00215473078668851*X ,

While P(1)=A(9876543210,0);

Calculate Point Q(1). (Xq-Xa)^2+(Yq-Ya)^2=r^2

Xa=9876543210

Ya=0

Yq=0

＝＞ Q(1)(19753086420 , 0).

Calculate Point R(1). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753086420

Yr=k*r/sqr(1+k^2)

Yq=0

＝＞R(1)(29629606702.3526 ,21281242.3177386)

e(1,1)=arctg(21281242.3177386/29629606702.3526)=0.0411522559235602゜.

Connect Point O and R(1), then the linear equation of OR(1) is Y(1,1)=tg( 0.0411522559235602°)*X

Calculate Point P(2). X^2+Y^2=r^2

Y11=tg(0.0411522559235602°)*X

＝＞ P(2)(9876540662.48362,7093751.09871519).

Calculate Point Q(2). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Yq=0

Yp=7093751.09871519

Xp=9876540662.48362

＝＞ Q(2)(19753081324.9672 , 0)

Calculate Point R(2). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Yq=0

Yr=k*r/sqr(1+k^2)

Xq=19753081324.9672

＝＞R(2)(29629601607.3199 ,21281242.3177386)

e(2,1)=arctg(21281242.3177386/29629601607.3199)=0.0411522629999976゜

Connect Point O and R(2), then the linear equation of OR(2) is Y(2,1)=tg( 0.0411522629999976°)*X.

Calculate Point P(3). X^2+Y^2=r^2

Y21=tg(0.0411522629999976°)*X

＝＞ P(3)(9876540662.48275 ,7093752.3185384)

Calculate Point Q(3) . (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Yq=0

Yp=7093752.3185384

Xp=9876540662.48275

＝＞ Q(3)(19753081324.9655 , 0)

Calculate Point R(3). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Yq=0

Xq=19753081324.9655

Yr=k*r/sqr(1+k^2)

＝＞R(3)(29629601607.3181 , 21281242.3177386)

e(3,1)=arctg(21281242.3177386/29629601607.3181)=0.041152263゜.

Connect Point O and R(3), then the linear equation of OR(3) is Y(3,1)=tg( 0.041152263°)*X.

While a random Angle E=0.123456789° is given, take initial Point P(1) at A(9876543210,0)，after three recurrent calculations, Subangle e(3,1) naturally converges at E/3. e(3,1)=E/3=0.041152263° .

While P(1)=z'( 9876537478.08649 , 10640627.3342238 );

Calculate Point Q(1). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Yq=0

Xp=9876537478.08649

Yp=10640627.3342238

＝＞ Q(1)(19753074956.173 , 0)

Calculate Point R(1) . (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753074956.173

Yq=0

Yr=k*r/sqr(1+K^2)

=＞R(1)(29629595238.5256 ,21281242.3177386)

e(1,2)=arctg(21281242.3177386/29629595238.5256)=0.0411522718455523゜

Connect Point O and R(1), then the linear equation of OR(1) is Y(1,2)=tg( 0.041152271845523°)*X

Calculate Point P(2). X^2+Y^2=r^2

Y12=tg(0.041152271845523°)*X

＝＞P(2)(9876540662.48165,7093753.84331879)

Calculate Point Q(2).(Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876540662.48165

Yp=7093753.84331879

Yq=0

＝＞ Q(2)(19753081324.9633 , 0).

Calculate Point R(2). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753081324.9633

Yq=0

Yr=k*r/sqr(1+k^2)

=＞R(2)(29629601607.3159 ,21281242.3177386)

e(2,2)=arctg(21281242.3177386/29629601607.3159)=0.041152263000003゜

Connect Point O and R(2), then the linear equation of OR(2) is Y(2,2)=tg( 0.041152263000003°)*X.

Calculate Point P(3). X^2+Y^2=r^2

Y22=tg(0.041152263000003°)*X

＝＞P(3)(9876540662.48275,7093752.31853934)

Calculate Point Q(3). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876540662.48275

Yp=7093752.31853934

Yq=0

＝＞ Q(3)(19753081324.9655 , 0)

Calculate Point R(3). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753081324.9655

Yq=0

Yr=k*r/sqr(1+k^2)

＝＞R(3)(29629601607.3181,21281242.3177386)

e(3,2)=arctg(21281242.3177386/29629601607.3181)=0.041152263゜

Connect Point O and R(3), then the linear equation of OR(3) is Y(3,2)=tg( 0.041152263°)*X.

While a random Angle E=0.123456789° is given, take initial Point P(1) at z'(9876537478.08649

,10640627.3342238)，after three recurrent calculations, Subangle e(3,2) naturally converges at E/3. e(3,2)=E/3=0.041152263°

While P’(1)=z'( 9876537478.08649 , 10640627.3342238 );

Calculate Point Q’(1). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876537478.08649

Yp=10640627.3342238

Yq=k*Xq

＝＞Q’(1)(19753029100.9048 ,45262459.9340736)

Calculate Point R’(1) . (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753029100.9048

Yq=45262459.9340736

Yr=k*(Xr-r)

＝＞ R’(1)(29629572310.9048, 42562459.9340736)

e(1,3)=arctg(42562459.9340736/29629572310.9048)=0.08230451744477゜

Connect Point O and R’(1), then the linear equation of OR’(1) is Y(1,3)=tg( 0.08230451744477°)*X

Calculate Point P’(2). X^2+Y^2=r^2

Y13=tg(0.08230451744477°)*X

＝＞P’(2)(9876533019.9345,14187499.4528289)

Calculate Point Q’(2). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876533019.9345

Yp=14187499.4528289

Yq=k*Xq

＝＞Q’(2)(19753035469.6804 ,42562473.6570703)

Calculate Point R’(2). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2 .

Xq=19753035469.6804

Yq=42562473.6570703

Yr=k*(Xr-r)

＝＞ R’(2)(29629578679.6804 ,42562473.6570703)

e(2,3)=arctg(42562473.6570703/29629578679.6804)=0.082304525999997゜

Connect Point O and R’(2), then the linear equation of OR’(2) is Y(2,3)=tg( 0.082304525999997°)*X

Calculate Point P’(3). X^2+Y^2=r^2

Y23=tg(0.082304525999997°)*X

＝＞P’(3)(9876533019.9323,14187500.9776072)

Calculate Point Q’(3). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876533019.9323

Yp=14187500.9776072

Yq=k*Xq

＝＞Q’(3)(19753035469.6825 ,42562473.6570751)

Calculate Point R’(3). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753035469.6825

Yq=42562473.6570751

Yr=k*(Xr-r)

＝＞R’(3)(29629578679.6825 ,42562473.6570751)

e(3,3)=arctg(42562473.6570751/29629578679.6825)=0.082304526゜

Connect Point O and R’(3), then the linear equation of OR’(3) is Y(3,3)=tg( 0.082304526°)*X.

While a random Angle E=0.123456789° is given, take initial Point P’(1) at z'(9876537478.08649

,10640627.3342238)点，after three recurrent calculations, Subangle e(3,3) naturally converges at 2*E/3. e(3,3)=2*E/3=0.082304526°

While P’(1)=B( 9876520282.35261 , 21281242.3177386 ) .

Calculate Point Q’(1). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2 .

Xp=9876520282.35261

Yp=21281242.3177386

Yq=k*Xq

＝＞Q’(1)(19753040564.7052 ,42562484.6354773)

Calculate Point R’(1) . (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2 .

Xq=19753040564.7052

Yq=42562484.6354773

Yr=k*(Xr-r)

＝＞R’(1)(29629583774.7052 ,42562484.6354773)

e(1,4)=arctg(42562484.6354773/29629583774.7052)=0.0823045330764398゜

Connect Point O and R’(1), then the linear equation of OR’(1) is Y(1,4)=tg( 0.0823045330764398°)*X .

Calculate Point P’(2). X^2+Y^2=r^2 .

Y14=tg(0.08230453307643)*X

＝＞P’(2)(9876533019.93055 , 14187502.1974304)

Calculate Point Q’(2). (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2 .

Xp=9876533019.93055

Yp=14187502.1974304

Yq=k*Xq

＝＞Q’(2)(19753035469.6843 , 42562473.6570788)

Calculate Point R’(2) . (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753035469.6843

Yq=42562473.6570788

Yr=k*(Xr-r)

＝＞R’(2)(29629578679.6843 ,42562473.6570788)

e(2,4)=arctg(42562473.6570788/29629578679.6843)=0.0823045260000024゜

Connect Point O and R’(2),then the linear equation of OR’(2) is Y(2,4)=tg( 0.0823045260000024°)*X。

Calculate Point P’(3). X^2+Y^2=r^2

Y24=tg( 0.0823045260000024°)*X

＝＞P’(3)(9876533019.9323,14187500.9776081)

Calculate Point Q’(3) . (Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2

Xp=9876533019.9323

Yp=14187500.9776081

Yq=k*Xq

＝＞Q’(3)(19753035469.6825 , 42562473.6570751)

Calculate Point R’(3). (Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2

Xq=19753035469.6825

Yq=42562473.6570751

Yr=k*(Xr-r)

＝＞R’(3)(29629578679.6825 ,42562473.6570751)

e(3,4)=arctg(42562473.6570751/29629578679.6825)=0.082304526゜.

Connect Point O and R’(3), then the linear equation of OR’(3) is Y(3,4)=tg( 0.082304526°)*X.

While a random Angle E=0.123456789° is given, take initial Point P’(1) at B(9876520282.35261

,21281242.3177386)，after three recurrent calculations, Subangle e(3,4) naturally converges at 2*E/3. e(3,4)=2*E/3=0.082304526°

So, when i=3, e(3,1)=e(3,2)=E/3=0.041152263°. e(3,3)=e(3,4)=2*E/3=0.082304526゜.

From the calculation of this example, it can be seen that no matter P(1)=A or P(1)=z', the two angle-dividing lines Y(3,1) and Y(3,2) naturally superpose and their included angle with axis X both equal .E/3.

---------------------------------------------------------------------------------------

2.2.1 List below the e(i, j) trisection computation result while E=0.1° . 0.2°.……. 89.9° .90°。( i=1,2,3,…….25。 j=1,2,3,4)。

Make the initial point;

a, P(1)=A ( r , 0 ), then the calculated subangle of Angle E is e(i,1);

b, P(1)=z’( Xz’ ,Yz’), then the calculated subangle of Angle E is e(i,2).

c, P’(1)=z’( Xz’ ,Yz’), then the calculated subangle of Angle E is e(i,3).

d, P’(1)=B( Xb ,Yb), then the calculated subangle of Angle E is e(i,4).

(i=1,2,3,…….25).

( In which .e*(1)=E/3 is the accurate value and it only serves to be a comparative reference with the calculation value e( i , 1 ).e( i , 2 ). Make Pi=3.14159265358979 ).

e（i,1）

e（i,2）

e*（1）

e（i ,3 ）

e（i,4）

0.1	0.03333333333333	0.03333333333333	0.03333333333333	0.06666666666667	0.06666666666667	3
0.2	0.06666666666667	0.06666666666667	0.06666666666667	0.13333333333333	0.13333333333333	3
0.3	0.1	0.1	0.1	0.2	0.2	3
0.4	0.13333333333333	0.13333333333333	0.13333333333333	0.26666666666667	0.26666666666667	3
0.5	0.16666666666667	0.16666666666667	0.16666666666667	0.33333333333333	0.33333333333333	3
0.6	0.2	0.2	0.2	0.4	0.4	4
0.7	0.23333333333333	0.23333333333333	0.23333333333333	0.46666666666667	0.46666666666667	4
0.8	0.26666666666667	0.26666666666667	0.26666666666667	0.53333333333333	0.53333333333333	4
0.9	0.3	0.3	0.3	0.6	0.6	4
1.0	0.3333333333333	0.33333333333333	0.33333333333333	0.66666666666667	0.66666666666667	4

1.1	0.36666666666667	0.36666666666667	0.36666666666667	0.73333333333333	0.73333333333333	4
1.2	0.4	0.4	0.4	0.8	0.8	4
1.3	0.43333333333333	0.43333333333333	0.43333333333333	0.86666666666667	0.86666666666667	4
1.4	0.46666666666667	0.46666666666667	0.46666666666667	0.93333333333333	0.93333333333333	4
1.5	0.5	0.5	0.5	1.0	1.0	4
1.6	0.53333333333333	0.53333333333333	0.53333333333333	1.06666666666667	1.06666666666667	4
1.7	0.56666666666667	0.56666666666667	0.56666666666667	1.13333333333333	1.13333333333333	4
1.8	0.6	0.6	0.6	1.2	1.2	4
1.9	0.63333333333333	0.63333333333333	0.63333333333333	1.26666666666667	1.26666666666667	4
2.0	0.66666666666667	0.66666666666667	0.66666666666667	1.33333333333333	1.33333333333333	5

2.1	0.7	0.7	0.7	1.4	1.4	5
2.2	0.73333333333333	0.73333333333333	0.73333333333333	1.46666666666667	1.46666666666667	5
2.3	0.76666666666667	0.76666666666667	0.76666666666667	1.53333333333333	1.53333333333333	5
2.4	0.8	0.8	0.8	1.6	1.6	5
2.5	0.83333333333333	0.83333333333333	0.83333333333333	1.66666666666667	1.66666666666667	5
2.6	0.86666666666667	0.86666666666667	0.86666666666667	1.73333333333333	1.73333333333333	5
2.7	0.9	0.9	0.9	1.8	1.8	5
2.8	0.93333333333333	0.93333333333333	0.93333333333333	1.86666666666667	1.86666666666667	5
2.9	0.96666666666667	0.96666666666667	0.96666666666667	1.93333333333333	1.93333333333333	5
3.0	1.0	1.0	1.0	2.0	2.0	5

3.1	1.03333333333333	1.03333333333333	1.03333333333333	2.06666666666667	2.06666666666667	5
3.2	1.06666666666667	1.06666666666667	1.06666666666667	2.13333333333333	2.13333333333333	5
3.3	1.1	1.1	1.1	2.2	2.2	5
3.4	1.13333333333333	1.13333333333333	1.13333333333333	2.26666666666667	2.26666666666667	5
3.5	1.16666666666667	1.16666666666667	1.16666666666667	2.33333333333333	2.33333333333333	5
3.6	1.2	1.2	1.2	2.4	2.4	5
3.7	1.23333333333333	1.23333333333333	1.23333333333333	2.46666666666667	2.46666666666667	5
3.8	1.26666666666667	1.26666666666667	1.26666666666667	2.53333333333333	2.53333333333333	5
3.9	1.3	1.3	1.3	2.6	2.6	5
4.0	1.33333333333333	1.33333333333333	1.33333333333333	2.66666666666667	2.66666666666667	5

4.1	1.36666666666667	1.36666666666667	1.36666666666667	2.73333333333333	2.73333333333333	5
4.2	1.4	1.4	1.4	2.8	2.8	5
4.3	1.43333333333333	1.43333333333333	1.43333333333333	2.86666666666667	2.86666666666667	5
4.4	1.46666666666667	1.46666666666667	1.46666666666667	2.93333333333333	2.93333333333333	5
4.5	1.5	1.5	1.5	3.0	3.0	5
4.6	1.53333333333333	1.53333333333333	1.53333333333333	3.06666666666667	3.06666666666667	5
4.7	1.56666666666667	1.56666666666667	1.56666666666667	3.13333333333333	3.13333333333333	5
4.8	1.6	1.6	1.6	3.2	3.2	5
4.9	1.63333333333333	1.63333333333333	1.63333333333333	3.26666666666667	3.26666666666667	5
5.0	1.66666666666667	1.66666666666667	1.66666666666667	3.33333333333333	3.33333333333333	5

5.1	1.7	1.7	1.7	3.4	3.4	5
5.2	1.73333333333333	1.73333333333333	1.73333333333333	3.46666666666667	3.46666666666667	5
5.3	1.76666666666667	1.76666666666667	1.76666666666666	3.53333333333333	3.53333333333333	5
5.4	1.8	1.8	1.8	3.6	3.6	5
5.5	1.83333333333333	1.83333333333333	1.83333333333333	3.66666666666667	3.66666666666667	5
5.6	1.86666666666667	1.86666666666667	1.86666666666667	3.73333333333333	3.73333333333333	5
5.7	1.9	1.9	1.9	3.8	3.8	5
5.8	1.93333333333333	1.93333333333333	1.93333333333333	3.86666666666666	3.86666666666667	5
5.9	1.96666666666667	1.96666666666667	1.96666666666667	3.93333333333333	3.93333333333333	5
6.0	2.0	2.0	2.0	4.0	4.0	5

6.1	2.03333333333333	2.03333333333333	2.03333333333333	4.06666666666667	4.06666666666667	5
6.2	2.06666666666667	2.06666666666667	2.06666666666667	4.13333333333333	4.13333333333333	5
6.3	2.1	2.1	2.1	4.2	4.2	5
6.4	2.13333333333333	2.13333333333333	2.13333333333333	4.26666666666667	4.26666666666667	5
6.5	2.16666666666667	2.16666666666667	2.16666666666667	4.33333333333333	4.33333333333333	5
6.6	2.2	2.2	2.2	4.4	4.4	5
6.7	2.23333333333333	2.23333333333333	2.23333333333333	4.46666666666666	4.46666666666666	5
6.8	2.26666666666666	2.26666666666667	2.26666666666667	4.53333333333333	4.53333333333333	5
6.9	2.3	2.3	2.3	4.6	4.6	5
7.0	2.33333333333333	2.33333333333333	2.33333333333333	4.66666666666666	4.66666666666666	5

7.1	2.36666666666667	2.36666666666667	2.36666666666667	4.73333333333333	4.73333333333333	6
7.2	2.4	2.4	2.4	4.8	4.8	6
7.3	2.43333333333333	2.43333333333334	2.43333333333333	4.86666666666667	4.86666666666667	6
7.4	2.46666666666667	2.46666666666667	2.46666666666667	4.93333333333333	4.93333333333333	6
7.5	2.5	2.5	2.5	5.0	5.0	6
7.6	2.53333333333333	2.53333333333333	2.53333333333333	5.06666666666667	5.06666666666667	6
7.7	2.56666666666667	2.56666666666667	2.56666666666667	5.13333333333333	5.13333333333333	6
7.8	2.6	2.6	2.6	5.2	5.2	6
7.9	2.63333333333333	2.63333333333333	2.63333333333333	5.26666666666666	5.26666666666666	6
8.0	2.66666666666667	2.66666666666667	2.66666666666667	5.33333333333333	5.33333333333333	6

8.1	2.7	2.7	2.7	5.4	5.4	6
8.2	2.73333333333333	2.73333333333333	2.73333333333333	5.46666666666667	5.46666666666667	6
8.3	2.76666666666667	2.76666666666667	2.76666666666667	5.53333333333333	5.53333333333333	6
8.4	2.8	2.8	2.8	5.6	5.6	6
8.5	2.83333333333333	2.83333333333333	2.83333333333333	5.66666666666667	5.66666666666667	6
8.6	2.86666666666667	2.86666666666667	2.86666666666667	5.73333333333333	5.73333333333333	6
8.7	2.9	2.9	2.9	5.8	5.8	6
8.8	2.93333333333333	2.93333333333333	2.93333333333333	5.86666666666667	5.86666666666667	6
8.9	2.96666666666667	2.96666666666667	2.96666666666667	5.93333333333333	5.93333333333333	6
9.0	3.0	3.0	3.0	6.0	6.0	6

9.1	3.03333333333333	3.03333333333333	3.03333333333333	6.06666666666667	6.06666666666667	6
9.2	3.06666666666667	3.06666666666667	3.06666666666667	6.13333333333333	6.13333333333333	6
9.3	3.1	3.1	3.1	6.2	6.2	6
9.4	3.13333333333333	3.13333333333333	3.13333333333333	6.26666666666667	6.26666666666667	6
9.5	3.16666666666667	3.16666666666667	3.16666666666667	6.33333333333333	6.33333333333333	6
9.6	3.2	3.2	3.2	6.4	6.4	6
9.7	3.23333333333333	3.23333333333333	3.23333333333333	6.46666666666667	6.46666666666667	6
9.8	3.26666666666667	3.26666666666667	3.26666666666667	6.53333333333333	6.53333333333333	6
9.9	3.3	3.3	3.3	6.6	6.6	6
10.0	3.33333333333333	3.33333333333333	3.33333333333333	6.66666666666666	6.66666666666667	6

10.1	3.36666666666667	3.36666666666667	3.36666666666667	6.73333333333333	6.73333333333333	6
10.2	3.4	3.4	3.4	6.8	6.8	6
10.3	3.43333333333333	3.43333333333333	3.43333333333333	6.86666666666666	6.86666666666667	6
10.4	3.46666666666667	3.46666666666667	3.46666666666667	6.93333333333333	6.93333333333333	6
10.5	3.5	3.5	3.5	7.0	7.0	6
10.6	3.53333333333333	3.53333333333333	3.53333333333333	7.06666666666667	7.06666666666667	6
10.7	3.56666666666667	3.56666666666667	3.56666666666667	7.13333333333333	7.13333333333333	6
10.8	3.6	3.6	3.6	7.2	7.2	6
10.9	3.63333333333333	3.63333333333333	3.63333333333333	7.26666666666667	7.26666666666667	6
11.0	3.66666666666667	3.66666666666667	3.66666666666667	7.33333333333333	7.33333333333333	6

11.1	3.7	3.7	3.7	7.4	7.4	6
11.2	3.73333333333333	3.73333333333333	3.73333333333333	7.46666666666667	7.46666666666667	6
11.3	3.76666666666666	3.76666666666667	3.76666666666667	7.53333333333333	7.53333333333333	6
11.4	3.8	3.8	3.8	7.6	7.6	6
11.5	3.83333333333333	3.83333333333333	3.83333333333333	7.66666666666667	7.66666666666667	6
11.6	3.86666666666666	3.86666666666667	3.86666666666667	7.73333333333333	7.73333333333334	6
11.7	3.9	3.9	3.9	7.8	7.8	6
11.8	3.93333333333333	3.93333333333334	3.93333333333333	7.86666666666666	7.86666666666667	6
11.9	3.96666666666666	3.96666666666667	3.96666666666667	7.93333333333333	7.93333333333333	6
12.0	4.0	4.0	4.0	8.0	8.0	6

12.1	4.03333333333333	4.03333333333334	4.03333333333333	8.06666666666666	8.06666666666667	6
12.2	4.06666666666666	4.06666666666667	4.06666666666667	8.13333333333333	8.13333333333334	6
12.3	4.1	4.1	4.1	8.2	8.2	6
12.4	4.13333333333333	4.13333333333334	4.13333333333333	8.26666666666666	8.26666666666667	6
12.5	4.16666666666666	4.16666666666667	4.16666666666667	8.33333333333333	8.33333333333334	6
12.6	4.2	4.2	4.2	8.4	8.4	7
12.7	4.23333333333333	4.23333333333333	4.23333333333333	8.46666666666667	8.46666666666667	7
12.8	4.26666666666667	4.26666666666667	4.26666666666667	8.53333333333333	8.53333333333333	7
12.9	4.3	4.3	4.3	8.6	8.6	7
13.0	4.33333333333333	4.33333333333333	4.33333333333333	8.66666666666667	8.66666666666667	7

13.1	4.36666666666667	4.36666666666667	4.36666666666667	8.73333333333333	8.73333333333333	7
13.2	4.4	4.4	4.4	8.8	8.8	7
13.3	4.43333333333333	4.43333333333333	4.43333333333333	8.86666666666667	8.86666666666667	7
13.4	4.46666666666667	4.46666666666667	4.46666666666667	8.93333333333333	8.93333333333333	7
13.5	4.5	4.5	4.5	9.0	9.0	7
13.6	4.53333333333333	4.53333333333333	4.53333333333333	9.06666666666667	9.06666666666667	7
13.7	4.56666666666667	4.56666666666667	4.56666666666667	9.13333333333333	9.13333333333333	7
13.8	4.6	4.6	4.6	9.2	9.2	7
13.9	4.63333333333333	4.63333333333333	4.63333333333333	9.26666666666666	9.26666666666666	7
14.0	4.66666666666667	4.66666666666667	4.66666666666667	9.33333333333333	9.33333333333333	7

14.1	4.7	4.7	4.7	9.4	9.4	7
14.2	4.73333333333333	4.73333333333333	4.73333333333333	9.46666666666667	9.46666666666667	7
14.3	4.76666666666667	4.76666666666667	4.76666666666667	9.53333333333333	9.53333333333333	7
14.4	4.8	4.8	4.8	9.6	9.6	7
14.5	4.83333333333333	4.83333333333333	4.83333333333333	9.66666666666667	9.66666666666667	7
14.6	4.86666666666667	4.86666666666667	4.86666666666667	9.73333333333333	9.73333333333333	7
14.7	4.9	4.9	4.9	9.8	9.8	7
14.8	4.93333333333333	4.93333333333333	4.93333333333333	9.86666666666667	9.86666666666667	7
14.9	4.96666666666667	4.96666666666667	4.96666666666667	9.93333333333333	9.93333333333333	7
15.0	5.0	5.0	5.0	10.0	10.0	7

15.1	5.03333333333333	5.03333333333333	5.03333333333333	10.0666666666667	10.0666666666667	7
15.2	5.06666666666667	5.06666666666667	5.06666666666667	10.1333333333333	10.1333333333333	7
15.3	5.1	5.1	5.1	10.2	10.2	7
15.4	5.13333333333333	5.13333333333333	5.13333333333333	10.2666666666667	10.2666666666667	7
15.5	5.16666666666667	5.16666666666667	5.16666666666667	10.3333333333333	10.3333333333333	7
15.6	5.2	5.2	5.2	10.4	10.4	7
15.7	5.23333333333333	5.23333333333333	5.23333333333333	10.4666666666667	10.4666666666667	7
15.8	5.26666666666667	5.26666666666667	5.26666666666667	10.5333333333333	10.5333333333333	7
15.9	5.3	5.3	5.3	10.6	10.6	7
16.0	5.33333333333333	5.33333333333333	5.33333333333333	10.6666666666667	10.6666666666667	7

16.1	5.36666666666667	5.36666666666667	5.36666666666667	10.7333333333333	10.7333333333333	7
16.2	5.4	5.4	5.4	10.8	10.8	7
16.3	5.43333333333333	5.43333333333333	5.43333333333333	10.8666666666667	10.8666666666667	7
16.4	5.46666666666667	5.46666666666667	5.46666666666667	10.9333333333333	10.9333333333333	7
16.5	5.5	5.5	5.5	11.0	11.0	7
16.6	5.53333333333333	5.53333333333333	5.53333333333333	11.0666666666667	11.0666666666667	8
16.7	5.56666666666667	5.56666666666667	5.56666666666667	11.1333333333333	11.1333333333333	8
16.8	5.6	5.6	5.6	11.2	11.2	8
16.9	5.63333333333333	5.63333333333333	5.63333333333333	11.2666666666667	11.2666666666667	8
17.0	5.66666666666667	5.66666666666667	5.66666666666667	11.3333333333333	11.3333333333333	8

17.1	5.7	5.7	5.7	11.4	11.4	8
17.2	5.73333333333333	5.73333333333333	5.73333333333333	11.4666666666667	11.4666666666667	8
17.3	5.76666666666667	5.76666666666667	5.76666666666667	11.5333333333333	11.5333333333333	8
17.4	5.8	5.8	5.8	11.6	11.6	8
17.5	5.83333333333334	5.83333333333334	5.83333333333333	11.6666666666667	11.6666666666667	8
17.6	5.86666666666667	5.86666666666667	5.86666666666667	11.7333333333333	11.7333333333333	8
17.7	5.9	5.9	5.9	11.8	11.8	8
17.8	5.93333333333333	5.93333333333333	5.93333333333333	11.8666666666667	11.8666666666667	8
17.9	5.96666666666667	5.96666666666667	5.96666666666667	11.9333333333333	11.9333333333333	8
18.0	6.0	6.0	6.0	12.0	12.0	8

18.1	6.03333333333333	6.03333333333333	6.03333333333333	12.0666666666667	12.0666666666667	8
18.2	6.06666666666667	6.06666666666667	6.06666666666667	12.1333333333333	12.1333333333333	8
18.3	6.1	6.1	6.1	12.2	12.2	8
18.4	6.13333333333333	6.13333333333333	6.13333333333333	12.2666666666667	12.2666666666667	8
18.5	6.16666666666667	6.16666666666667	6.16666666666667	12.3333333333333	12.3333333333333	8
18.6	6.2	6.2	6.2	12.4	12.4	8
18.7	6.23333333333333	6.23333333333333	6.23333333333333	12.4666666666667	12.4666666666667	8
18.8	6.26666666666667	6.26666666666667	6.26666666666667	12.5333333333333	12.5333333333333	8
18.9	6.3	6.3	6.3	12.6	12.6	8
19.0	6.33333333333333	6.33333333333333	6.33333333333333	12.6666666666667	12.6666666666667	8

19.1	6.36666666666667	6.36666666666667	6.36666666666667	12.7333333333333	12.7333333333333	8
19.2	6.4	6.4	6.4	12.8	12.8	8
19.3	6.43333333333334	6.43333333333334	6.43333333333333	12.8666666666667	12.8666666666667	8
19.4	6,46666666666667	6.46666666666667	6.46666666666667	12.9333333333333	12.9333333333333	8
19.5	6.5	6.5	6.5	13.0	13.0	8
19.6	6.53333333333334	6.53333333333334	6.53333333333333	13.0666666666667	13.0666666666667	8
19.7	6.56666666666667	6.56666666666667	6.56666666666667	13.1333333333333	13.1333333333333	8
19.8	6.6	6.6	6.6	13.2	13.2	8
19.9	6.63333333333333	6.63333333333333	6.63333333333333	13.2666666666667	13.2666666666667	8
20.0	6.66666666666667	6.66666666666667	6.66666666666667	13.3333333333333	13.3333333333333	8

20.1	6.7	6.7	6.7	13.4	13.4	8
20.2	6.73333333333334	6.73333333333334	6.73333333333333	13.4666666666667	13.4666666666667	8
20.3	6.76666666666667	6.76666666666667	6.76666666666667	13.5333333333333	13.5333333333333	8
20.4	6.8	6.8	6.8	13.6	13.6	8
20.5	6.83333333333334	6.83333333333334	6.83333333333333	13.6666666666667	13.6666666666667	8
20.6	6.86666666666667	6.86666666666667	6.86666666666667	13.7333333333333	13.7333333333333	8
20.7	6.9	6.9	6.9	13.8	13.8	8
20.8	6.93333333333333	6.93333333333334	6.93333333333333	13.8666666666667	13.8666666666667	8
20.9	6.96666666666667	6.96666666666667	6.96666666666667	13.9333333333333	13.9333333333333	8
21.0	7.0	7.0	7.0	14.0	14.0	8

21.1	7.03333333333333	7.03333333333334	7.03333333333333	14.0666666666667	14.0666666666667	8
21.2	7.06666666666667	7.06666666666667	7.06666666666667	14.1333333333333	14.1333333333333	8
21.3	7.1	7.1	7.1	14.2	14.2	8
21.4	7.13333333333334	7.13333333333334	7.13333333333333	14.2666666666667	14.2666666666667	8
21.5	7.16666666666667	7.16666666666667	7.16666666666667	14.3333333333333	14.3333333333333	8
21.6	7.2	7.2	7.2	14.4	14.4	8
21.7	7.23333333333333	7.23333333333334	7.23333333333333	14.4666666666667	14.4666666666666	8
21.8	7.26666666666667	7.26666666666667	7.26666666666667	14.5333333333333	14.5333333333333	8
21.9	7.3	7.3	7.3	14.6	14.6	8
22.0	7.33333333333334	7.33333333333334	7.33333333333333	14.6666666666667	14.6666666666667	8

22.1	7.36666666666667	7.36666666666667	7.36666666666667	14.7333333333333	14.7333333333333	8
22.2	7.4	7.4	7.4	14.8	14.8	8
22.3	7.43333333333333	7.43333333333333	7.43333333333333	14.8666666666667	14.8666666666667	8
22.4	7.46666666666667	7.46666666666667	7.46666666666667	14.9333333333333	14.9333333333333	8
22.5	7.5	7.5	7.5	15.0	15.0	8
22.6	7.53333333333333	7.53333333333333	7.53333333333333	15.0666666666667	15.0666666666667	8
22.7	7.56666666666667	7.56666666666667	7.56666666666667	15.1333333333333	15.1333333333333	8
22.8	7.6	7.6	7.6	15.2	15.2	8
22.9	7.63333333333333	7.63333333333334	7.63333333333333	15.2666666666667	15.2666666666667	8
23.0	7.66666666666667	7.66666666666667	7.66666666666667	15.3333333333333	15.3333333333333	8

23.1	7.7	7.7	7.7	15.4	15.4	9
23.2	7.73333333333334	7.73333333333334	7.73333333333333	15.4666666666667	15.4666666666667	9
23.3	7.76666666666667	7.76666666666667	7.76666666666667	15.5333333333333	15.5333333333333	9
23.4	7.8	7.8	7.8	15.6	15.6	9
23.5	7.83333333333334	7.83333333333334	7.83333333333333	15.6666666666667	15.6666666666667	9
23.6	7.86666666666667	7.86666666666667	7.86666666666667	15.7333333333333	15.7333333333333	9
23.7	7.9	7.9	7.9	15.8	15.8	9
23.8	7.93333333333333	7.93333333333333	7.93333333333333	15.8666666666667	15.8666666666667	9
23.9	7.96666666666667	7.96666666666667	7.96666666666667	15.9333333333333	15.9333333333333	9
24.0	8.0	8.0	8.0	16.0	16.0	9

24.1	8.03333333333333	8.03333333333333	8.03333333333333	16.0666666666667	16.0666666666667	9
24.2	8.06666666666667	8.06666666666667	8.06666666666667	16.1333333333333	16.1333333333333	9
24.3	8.1	8.1	8.1	16.2	16.2	9
24.4	8.13333333333333	8.13333333333334	8.13333333333333	16.2666666666667	16.2666666666667	9
24.5	8.16666666666667	8.16666666666667	8.16666666666667	16.3333333333333	16.3333333333333	9
24.6	8.2	8.2	8.2	16.4	16.4	9
24.7	8.23333333333333	8.23333333333333	8.23333333333333	16.4666666666667	16.4666666666667	9
24.8	8.26666666666667	8.26666666666667	8.26666666666667	16.5333333333333	16.5333333333333	9
24.9	8.3	8.3	8.3	16.6	16.6	9
25.0	8.33333333333334	8.33333333333334	8.33333333333333	16.6666666666667	16.6666666666667	9

25.1	8.36666666666667	8.36666666666667	8.36666666666667	16.7333333333333	16.7333333333333	9
25.2	8.4	8.4	8.4	16.8	16.8	9
25.3	8.43333333333333	8.43333333333333	8.43333333333333	16.8666666666667	16.8666666666667	9
25.4	8.46666666666667	8.46666666666667	8.46666666666667	16.9333333333333	16.9333333333333	9
25.5	8.5	8.5	8.5	17.0	17.0	9
25.6	8.53333333333333	8.53333333333333	8.53333333333333	17.0666666666667	17.0666666666667	9
25.7	8.56666666666667	8.56666666666667	8.56666666666667	17.1333333333333	17.1333333333333	9
25.8	8.6	8.6	8.6	17.2	17.2	9
25.9	8.63333333333333	8.63333333333333	8.63333333333333	17.2666666666667	17.2666666666667	9
26.0	8.66666666666667	8.66666666666667	8.66666666666667	17.3333333333333	17.3333333333333	9

26.1	8.7	8.7	8.7	17.4	17.4	9
26.2	8.73333333333333	8.73333333333333	8.73333333333333	17.4666666666667	17.4666666666667	9
26.3	8.76666666666667	8.76666666666667	8.76666666666667	17.5333333333333	17.5333333333333	9
26.4	8.8	8.8	8.8	17.6	17.6	9
26.5	8.83333333333334	8.83333333333334	8.83333333333333	17.6666666666667	17.6666666666667	9
26.6	8.86666666666667	8.86666666666667	8.86666666666667	17.7333333333333	17.7333333333333	9
26.7	8.9	8.9	8.9	17.8	17.8	9
26.8	8.93333333333333	8.93333333333334	8.93333333333333	17.8666666666667	17.8666666666667	9
26.9	8.96666666666667	8.96666666666667	8.96666666666667	17.9333333333333	17.9333333333333	9
27.0	9.0	9.0	9.0	18.0	18.0	9

27.1	9.03333333333333	9.03333333333334	9.03333333333333	18.0666666666667	18.0666666666667	9
27.2	9.06666666666667	9.06666666666667	9.06666666666667	18.1333333333333	18.1333333333333	9
27.3	9.1	9.1	9.1	18.2	18.2	9
27.4	9.13333333333333	9.13333333333334	9.13333333333333	18.2666666666667	18.2666666666667	9
27.5	9.16666666666667	9.16666666666667	9.16666666666667	18.3333333333333	18.3333333333333	9
27.6	9.2	9.2	9.2	18.4	18.4	9
27.7	9.23333333333334	9.23333333333334	9.23333333333333	18.4666666666667	18.4666666666667	9
27.8	9.26666666666667	9.26666666666667	9.26666666666667	18.5333333333333	18.5333333333333	9
27.9	9.3	9.3	9.3	18.6	18.6	9
28.0	9.33333333333334	9.33333333333334	9.33333333333333	18.6666666666667	18.6666666666667	9

28.1	9.36666666666667	9.36666666666667	9.36666666666667	18.7333333333333	18.7333333333333	9
28.2	9.4	9.4	9.4	18.8	18.8	9
28.3	9.43333333333333	9.43333333333333	9.43333333333333	18.8666666666667	18.8666666666667	9
28.4	9.46666666666667	9.46666666666667	9.46666666666667	18.9333333333333	18.9333333333333	9
28.5	9.5	9.5	9.5	19.0	19.0	9
28.6	9.53333333333333	9.53333333333334	9.53333333333333	19.0666666666667	19.0666666666667	9
28.7	9.56666666666667	9.56666666666667	9.56666666666667	19.1333333333333	19.1333333333333	9
28.8	9.6	9.6	9.6	19.2	19.2	9
28.9	9.63333333333333	9.63333333333334	9.63333333333333	19.2666666666667	19.2666666666667	9
29.0	9.66666666666667	9.66666666666667	9.66666666666667	19.3333333333333	19.3333333333333	9

29.1	9.7	9.7	9.7	19.4	19.4	9
29.2	9.73333333333333	9.73333333333334	9.73333333333333	19.4666666666667	19.4666666666667	9
29.3	9.76666666666667	9.76666666666667	9.76666666666667	19.5333333333333	19.5333333333333	9
29.4	9.8	9.80000000000001	9.8	19.6	19.6	9
29.5	9.83333333333334	9.83333333333334	9.83333333333333	19.6666666666667	19.6666666666667	9
29.6	9.86666666666667	9.86666666666667	9.86666666666667	19.7333333333333	19.7333333333333	9
29.7	9.9	9.9	9.9	19.8	19.8	9
29.8	9.93333333333333	9.93333333333334	9.93333333333333	19.8666666666667	19.8666666666667	9
29.9	9.96666666666667	9.96666666666667	9.96666666666667	19.9333333333333	19.9333333333333	9
30.0	10.0	10.0	10.0	20.0	20.0	9

30.1	10.0333333333333	10.0333333333333	10.0333333333333	20.0666666666667	20.0666666666667	9
30.2	10.0666666666667	10.0666666666667	10.0666666666667	20.1333333333333	20.1333333333333	9
30.3	10.1	10.1	10.1	20.2	20.2	9
30.4	10.1333333333333	10.1333333333333	10.1333333333333	20.2666666666667	20.2666666666667	9
30.5	10.1666666666667	10.1666666666667	10.1666666666667	20.3333333333333	20.3333333333333	9
30.6	10.2	10.2	10.2	20.4	20.4	9
30.7	10.2333333333333	10.2333333333333	10.2333333333333	20.4666666666667	20.4666666666667	9
30.8	10.2666666666667	10.2666666666667	10.2666666666667	20.5333333333333	20.5333333333333	9
30.9	10.3	10.3	10.3	20.6	20.6	9
31.0	10.3333333333333	10.3333333333333	10.3333333333333	20.6666666666667	20.6666666666667	9

31.1	10.3666666666667	10.3666666666667	10.3666666666667	20.7333333333333	20.7333333333333	9
31.2	10.4	10.4	10.4	20.8	20.8	9
31.3	10.4333333333333	10.4333333333333	10.4333333333333	20.8666666666667	20.8666666666667	9
31.4	10.4666666666667	10.4666666666667	10.4666666666667	20.9333333333333	20.9333333333333	9
31.5	10.5	10.5	10.5	21.0	21.0	9
31.6	10.5333333333333	10.5333333333333	10.5333333333333	21.0666666666667	21.0666666666667	9
31.7	10.5666666666667	10.5666666666667	10.5666666666667	21.1333333333333	21.1333333333333	9
31.8	10.6	10.6	10.6	21.2	21.2	9
31.9	10.6333333333333	10.6333333333334	10.6333333333333	21.2666666666667	21.2666666666667	9
32.0	10.6666666666667	10.6666666666667	10.6666666666667	21.3333333333333	21.3333333333334	9

32.1	10.7	10.7	10.7	21.4	21.4	9
32.2	10.7333333333333	10.7333333333334	10.7333333333333	21.4666666666666	21.4666666666667	9
32.3	10.7666666666667	10.7666666666667	10.7666666666667	21.5333333333333	21.5333333333334	9
32.4	10.8	10.8	10.8	21.6	21.6	9
32.5	10.8333333333333	10.8333333333334	10.8333333333333	21.6666666666667	21.6666666666667	9
32.6	10.8666666666666	10.8666666666667	10.8666666666667	21.7333333333333	21.7333333333334	9
32.7	10.9	10.9	10.9	21.8	21.8	9
32.8	10.9333333333333	10.9333333333334	10.9333333333333	21.8666666666666	21.8666666666667	9
32.9	10.9666666666666	10.9666666666667	10.9666666666667	21.9333333333333	21.9333333333334	9
33.0	11.0	11.0	11.0	22.0	22.0	9

33.1	11.0333333333333	11.0333333333334	11.0333333333333	22.0666666666666	22.0666666666667	9
33.2	11.0666666666666	11.0666666666667	11.0666666666667	22.1333333333333	22.1333333333334	9
33.3	11.1	11.1	11.1	22.2	22.2	9
33.4	11.1333333333333	11.1333333333334	11.1333333333333	22.2666666666666	22.2666666666667	9
33.5	11.1666666666666	11.1666666666667	11.1666666666667	22.3333333333333	22.3333333333334	9
33.6	11.2	11.2	11.2	22.4	22.4	10
33.7	11.2333333333333	11.2333333333333	11.2333333333333	22.4666666666667	22.4666666666667	10
33.8	11.2666666666667	11.2666666666667	11.2666666666667	22.5333333333333	22.5333333333333	10
33.9	11.3	11.3	11.3	22.6	22.6	10
34.0	11.3333333333333	11.3333333333333	11.3333333333333	22.6666666666667	22.6666666666667	10

34.1	11.3666666666667	11.3666666666667	11.3666666666667	22.7333333333333	22.7333333333333	10
34.2	11.4	11.4	11.4	22.8	22.8	10
34.3	11.4333333333333	11.4333333333333	11.4333333333333	22.8666666666667	22.8666666666667	10
34.4	11.4666666666667	11.4666666666667	11.4666666666667	22.9333333333333	22.9333333333333	10
34.5	11.5	11.5	11.5	23.0	23.0	10
34.6	11.5333333333333	11.5333333333333	11.5333333333333	23.0666666666667	23.0666666666667	10
34.7	11.5666666666667	11.5666666666667	11.5666666666667	23.1333333333333	23.1333333333333	10
34.8	11.6	11.6	11.6	23.2	23.2	10
34.9	11.6333333333333	11.6333333333333	11.6333333333333	23.2666666666667	23.2666666666667	10
35.0	11.6666666666667	11.6666666666667	11.6666666666667	23.3333333333333	23.3333333333333	10

35.1	11.7	11.7	11.7	23.4	23.4	10
35.2	11.7333333333333	11.7333333333333	11.7333333333333	23.4666666666667	23.4666666666667	10
35.3	11.7666666666667	11.7666666666667	11.7666666666667	23.5333333333333	23.5333333333333	10
35.4	11.8	11.8	11.8	23.6	23.6	10
35.5	11.8333333333333	11.8333333333333	11.8333333333333	23.6666666666667	23.6666666666667	10
35.6	11.8666666666667	11.8666666666667	11.8666666666667	23 7333333333333	23.7333333333333	10
35.7	11.9	11.9	11.9	23.8	23.8	10
35.8	11.9333333333333	11.9333333333333	11.9333333333333	23.8666666666667	23.8666666666667	10
35.9	11.9666666666667	11.9666666666667	11.9666666666667	23.9333333333333	23.9333333333333	10
36.0	12.0	12.0	12.0	24.0	24.0	10

36.1	12.0333333333333	12.0333333333333	12.0333333333333	24.0666666666667	24.0666666666667	10
36.2	12.0666666666667	12.0666666666667	12.0666666666667	24.1333333333333	24.1333333333333	10
36.3	12.1	12.1	12.1	24.2	24.2	10
36.4	12.1333333333333	12.1333333333333	12.1333333333333	24.2666666666667	24.2666666666667	10
36.5	12.1666666666667	12.1666666666667	12.1666666666667	24.3333333333333	24.3333333333333	10
36.6	12.2	12.2	12.2	24.4	24.4	10
36.7	12.2333333333333	12.2333333333333	12.2333333333333	24.4666666666667	24.4666666666667	10
36.8	12.2666666666667	12.2666666666667	12.2666666666667	24.5333333333333	24.5333333333333	10
36.9	12.3	12.3	12.3	24.6	24.6	10
37.0	12.3333333333333	12.3333333333333	12.3333333333333	24.6666666666667	24.6666666666667	10

37.1	12.3666666666667	12.3666666666667	12.3666666666667	24.7333333333333	24.7333333333333	10
37.2	12.4	12.4	12.4	24.8	24.8	10
37.3	12.4333333333333	12.4333333333333	12.4333333333333	24.8666666666667	24.8666666666667	10
37.4	12.4666666666667	12.4666666666667	12.4666666666667	24.9333333333333	24.9333333333334	10
37.5	12.5	12.5	12.5	25.0	25.0	10
37.6	12.5333333333333	12.5333333333333	12.5333333333333	25.0666666666666	25.0666666666667	10
37.7	12.5666666666667	12.5666666666667	12.5666666666667	25.1333333333333	25.1333333333333	10
37.8	12.6	12.6	12.6	25.2	25.2	10
37.9	12.6333333333333	12.6333333333334	12.6333333333333	25.2666666666667	25.2666666666667	10
38.0	12.6666666666667	12.6666666666667	12.6666666666667	25.3333333333333	25.3333333333333	10

38.1	12.7	12.7	12.7	25.4	25.4	10
38.2	12.7333333333333	12.7333333333334	12.7333333333333	25.4666666666666	25.4666666666667	10
38.3	12.7666666666667	12.7666666666667	12.7666666666667	25.5333333333333	25.5333333333333	10
38.4	12.8	12.8	12.8	25.6	25.6	10
38.5	12.8333333333333	12.8333333333334	12.8333333333333	25.6666666666667	25.6666666666667	10
38.6	12.8666666666666	12.8666666666667	12.8666666666667	25.7333333333333	25.7333333333333	10
38.7	12.9	12.9	12.9	25.8	25.8	10
38.8	12.9333333333333	12.9333333333334	12.9333333333333	25.8666666666666	25.8666666666667	10
38.9	12.9666666666666	12.9666666666667	12.9666666666667	25.9333333333333	25.9333333333334	10
39.0	13.0	13.0	13.0	26.0	26.0	10

39.1	13.0333333333333	13.0333333333334	13.0333333333333	26.0666666666666	26.0666666666667	10
39.2	13.0666666666666	13.0666666666667	13.0666666666667	26.1333333333333	26.1333333333334	10
39.3	13.1	13.1	13.1	26.2	26.2	10
39.4	13.1333333333333	13.1333333333334	13.1333333333333	26.2666666666666	26.2666666666667	10
39.5	13.1666666666666	13.1666666666667	13.1666666666667	26.3333333333333	26.3333333333334	10
39.6	13.2	13.2	13.2	26.4	26.4	11
39.7	13.2333333333333	13.2333333333333	13.2333333333333	26.4666666666667	26.4666666666667	11
39.8	13.2666666666667	13.2666666666667	13.2666666666667	26.5333333333333	26.5333333333333	11
39.9	13.3	13.3	13.3	26.6	26.6	11
40.0	13.3333333333333	13.3333333333333	13.3333333333333	26.6666666666667	26.6666666666667	11

40.1	13.3666666666667	13.3666666666667	13.3666666666667	26.7333333333333	26.7333333333333	11
40.2	13.4	13.4	13.4	26.8	26.8	11
40.3	13.4333333333333	13.4333333333333	13.4333333333333	26.8666666666667	26.8666666666667	11
40.4	13.4666666666667	13.4666666666667	13.4666666666667	26.9333333333333	26.9333333333333	11
40.5	13.5	13.5	13.5	27.0	27.0	11
40.6	13.5333333333333	13.5333333333333	13.5333333333333	27.0666666666667	27.0666666666667	11
40.7	13.5666666666667	13.5666666666667	13.5666666666667	27.1333333333333	27.1333333333333	11
40.8	13.6	13.6	13.6	27.2	27.2	11
40.9	13.6333333333333	13.6333333333333	13.6333333333333	27.2666666666667	27.2666666666667	11
41.0	13.6666666666667	13.6666666666667	13.6666666666667	27.3333333333333	27.3333333333333	11

41.1	13.7	13.7	13.7	27.4	27.4	11
41.2	13.7333333333333	13.7333333333333	13.7333333333333	27.4666666666667	27.4666666666667	11
41.3	13.7666666666667	13.7666666666667	13.7666666666667	27.5333333333333	27.5333333333333	11
41.4	13.8	13.8	13.8	27.6	27.6	11
41.5	13.8333333333333	13.8333333333333	13.8333333333333	27.6666666666667	27.6666666666667	11
41.6	13.8666666666667	13.8666666666667	13.8666666666667	27.7333333333333	27.7333333333333	11
41.7	13.9	13.9	13.9	27.8	27.8	11
41.8	13.9333333333333	13.9333333333333	13.9333333333333	27.8666666666667	27.8666666666667	11
41.9	13.9666666666667	13.9666666666667	13.9666666666667	27.9333333333333	27.9333333333333	11
42.0	14.0	14.0	14.0	28.0	28.0	11

42.1	14.0333333333333	14.0333333333333	14.0333333333333	28.0666666666667	28.0666666666667	11
42.2	14.0666666666667	14.0666666666667	14.0666666666667	28.1333333333333	28.1333333333333	11
42.3	14.1	14.1	14.1	28.2	28.2	11
42.4	14.1333333333333	14.1333333333333	14.1333333333333	28.2666666666667	28.2666666666667	11
42.5	14.1666666666667	14.1666666666667	14.1666666666667	28.3333333333333	28.3333333333333	11
42.6	14.2	14.2	14.2	28.4	28.4	11
42.7	14.2333333333333	14.2333333333333	14.2333333333333	28.4666666666667	28.4666666666667	11
42.8	14.2666666666667	14.2666666666667	14.2666666666667	28.5333333333333	28.5333333333333	11
42.9	14.3	14.3	14.3	28.6	28.6	11
43.0	14.3333333333333	14.3333333333333	14.3333333333333	28.6666666666667	28.6666666666667	11

43.1	14.3666666666667	14.3666666666667	14.3666666666667	28.7333333333333	28.7333333333333	11
43.2	14.4	14.4	14.4	28.8	28.8	11
43.3	14.4333333333333	14.4333333333334	14.4333333333333	28.8666666666667	28.8666666666667	11
43.4	14.4666666666667	14.4666666666667	14.4666666666667	28.9333333333333	28.9333333333334	11
43.5	14.5	14.5	14.5	29.0	29.0	11
43.6	14.5333333333333	14.5333333333334	14.5333333333333	29.0666666666666	29.0666666666667	11
43.7	14.5666666666666	14.5666666666667	14.5666666666667	29.1333333333333	29.1333333333334	11
43.8	14.6	14.6	14.6	29.2	29.2	11
43.9	14.6333333333333	14.6333333333334	14.6333333333333	29.2666666666667	29.2666666666667	11
44.0	14.6666666666667	14.6666666666667	14.6666666666667	29.3333333333333	29.3333333333334	11

44.1	14.7	14.7	14.7	29.4	29.4	11
44.2	14.7333333333333	14.7333333333334	14.7333333333333	29.4666666666666	29.4666666666667	11
44.3	14.7666666666667	14.7666666666667	14.7666666666667	29.5333333333333	29.5333333333334	11
44.4	14.8	14.8	14.8	29.6	29.6	11
44.5	14.8333333333333	14.8333333333334	14.8333333333333	29.6666666666666	29.6666666666667	11
44.6	14.8666666666666	14.8666666666667	14.8666666666667	29.7333333333333	29.7333333333333	11
44.7	14.9	14.9	14.9	29.8	29.8	11
44.8	14.9333333333333	14.9333333333334	14.9333333333333	29.8666666666666	29.6666666666667	11
44.9	14.9666666666666	14.9666666666667	14.9666666666667	29.9333333333333	29.9333333333334	11
45.0	15.0	15.0	15.0	30.0	30.0	11

45.1	15.0333333333333	15.0333333333334	15.0333333333333	30.0666666666666	30.0666666666667	11
45.2	15.0666666666666	15.0666666666667	15.0666666666667	30.1333333333333	30.1333333333334	11
45.3	15.1	15.1	15.1	30.2	30.2	11
45.4	15.1333333333333	15.1333333333334	15.1333333333333	30.2666666666666	30.2666666666667	11
45.5	15.1666666666666	15.1666666666667	15.1666666666667	30.3333333333333	30.3333333333334	11
45.6	15.2	15.2	15.2	30.4	30.4	12
45.7	15.2333333333333	15.2333333333333	15.2333333333333	30.4666666666667	30.4666666666667	12
45.8	15.2666666666667	15.2666666666667	15.2666666666667	30.5333333333333	30.5333333333333	12
45.9	15.3	15.3	15.3	30.6	30.6	12
46.0	15.3333333333333	15.3333333333333	15.3333333333333	30.6666666666667	30.6666666666667	12

46.1	15.3666666666667	15.3666666666667	15.3666666666667	30.7333333333333	30.7333333333333	12
46.2	15.4	15.4	15.4	30.8	30.8	12
46.3	15.4333333333333	15.4333333333333	15.4333333333333	30.8666666666667	30.8666666666667	12
46.4	15.4666666666667	15.4666666666667	15.4666666666667	30.9333333333333	30.9333333333333	12
46.5	15.5	15.5	15.5	31.0	31.0	12
46.6	15.5333333333333	15.5333333333333	15.5333333333333	31.0666666666667	31.0666666666667	12
46.7	15.5666666666667	15.5666666666667	15.5666666666667	31.1333333333333	31.1333333333333	12
46.8	15.6	15.6	15.6	31.2	31.2	12
46.9	15.6333333333333	15,6333333333333	15.6333333333333	31.2666666666667	31.2666666666667	12
47.0	15.6666666666667	15.6666666666667	15.6666666666667	31.3333333333333	31.3333333333333	12

47.1	15.7	15.7	15.7	31.4	31.4	12
47.2	15.7333333333333	15.7333333333333	15.7333333333333	31.4666666666667	31.4666666666667	12
47.3	15.7666666666667	15.7666666666667	15.7666666666667	31.5333333333333	31.5333333333333	12
47.4	15.8	15.8	15.8	31.6	31.6	12
47.5	15.8333333333333	15.8333333333333	15.8333333333333	31.6666666666667	31.6666666666667	12
47.6	15.8666666666667	15.8666666666667	15.8666666666667	31.7333333333333	31.7333333333333	12
47.7	15.9	15.9	15.9	31.8	31.8	12
47.8	15.9333333333333	15.9333333333333	15.9333333333333	31.8666666666667	31.8666666666667	12
47.9	15.9666666666667	15.9666666666667	15.9666666666667	31.9333333333333	31.9333333333333	12
48.0	16.0	16.0	16.0	32.0	32.0	12

48.1	16.0333333333333	16.0333333333333	16.0333333333333	32.0666666666667	32.0666666666667	12
48.2	16.0666666666667	16.0666666666667	16.0666666666667	32.1333333333333	32.1333333333333	12
48.3	16.1	16.1	16.1	32.2	32.2	12
48.4	16.1333333333333	16.1333333333334	16.1333333333333	32.2666666666667	32.2666666666667	12
48.5	16.1666666666667	16.1666666666667	16.1666666666667	32.3333333333333	32.3333333333333	12
48.6	16.2	16.2	16.2	32.4	32.4	12
48.7	16.2333333333333	16.2333333333333	16.2333333333333	32.4666666666667	32.4666666666667	12
48.8	16.2666666666667	16.2666666666667	16.2666666666667	32.5333333333333	32.5333333333333	12
48.9	16.3	16.3	16.3	32.6	32.6	12
49.0	16.3333333333333	16.3333333333334	16.3333333333333	32.6666666666667	32.6666666666667	12

49.1	16.3666666666667	16.3666666666667	16.3666666666667	32.7333333333333	32.7333333333333	12
49.2	16.4	16.4	16.4	32.8	32.8	12
49.3	16.4333333333333	16.4333333333334	16.4333333333333	32.8666666666667	32.8666666666667	12
49.4	16.4666666666667	16.4666666666667	16.4666666666667	32.9333333333333	32.9333333333333	12
49.5	16.5	16.5	16.5	33.0	33.0	12
49.6	16.5333333333333	16.5333333333334	16.5333333333333	33.0666666666666	33.0666666666667	12
49.7	16.5666666666666	16.5666666666667	16.5666666666667	33.1333333333333	33.1333333333334	12
49.8	16.6	16.6	16.6	33.2	33.2	12
49.9	16.6333333333333	16.6333333333334	16.6333333333333	33.2666666666666	33.2666666666667	12
50.0	16.6666666666666	16.6666666666667	16.6666666666667	33.3333333333333	33.3333333333334	12

50.1	16.7	16.7	16.7	33.4	33.4	13
50.2	16.7333333333333	16.7333333333333	16.7333333333333	33.4666666666667	33.4666666666667	13
50.3	16.7666666666667	16.7666666666667	16.7666666666667	33.5333333333333	33.5333333333333	13
50.4	16.8	16.8	16.8	33.6	33.6	13
50.5	16.8333333333333	16.8333333333333	16.8333333333333	33.6666666666667	33.6666666666667	13
50.6	16.8666666666667	16.8666666666667	16.8666666666667	33.7333333333333	33.7333333333333	13
50.7	16.9	16.9	16.9	33.8	33.8	13
50.8	16.9333333333333	16.9333333333333	16.9333333333333	33.8666666666667	33.8666666666667	13
50.9	16.9666666666667	16.9666666666667	16.9666666666667	33.9333333333333	33.9333333333333	13
51.0	17.0	17.0	17.0	34.0	34.0	13

51.1	17.0333333333333	17.0333333333333	17.0333333333333	34.0666666666666	34.0666666666667	13
51.2	17.0666666666667	17.0666666666667	17.0666666666667	34.1333333333333	34.1333333333333	13
51.3	17.1	17.1	17.1	34.2	34.2	13
51.4	17.1333333333333	17.1333333333333	17.1333333333333	34.2666666666667	34.2666666666667	13
51.5	17.1666666666667	17.1666666666667	17.1666666666667	34.3333333333333	34.3333333333334	13
51.6	17.2	17.2	17.2	34.4	34.4	13
51.7	17.2333333333333	17.2333333333333	17.2333333333333	34.4666666666667	34.6666666666667	13
51.8	17.2666666666667	17.2666666666667	17.2666666666667	34.5333333333333	34.5333333333333	13
51.9	17.3	17.3	17.3	34.6	34.6	13
52.0	17.3333333333333	17.3333333333333	17.3333333333333	34.6666666666666	34.6666666666667	13

52.1	17.3666666666667	17.3666666666667	17.3666666666667	34.7333333333333	34.7333333333333	13
52.2	17.4	17.4	17.4	34.8	34.8	13
52.3	17.4333333333333	17.4333333333333	17.4333333333333	34.8666666666667	34.8666666666667	13
52.4	17.4666666666667	17.4666666666667	17.4666666666667	34.9333333333333	34.9333333333333	13
52.5	17.5	17.5	17.5	35.0	35.0	13
52.6	17.5333333333333	17.5333333333333	17.5333333333333	35.0666666666667	35.0666666666667	13
52.7	17.5666666666667	17.5666666666667	17.5666666666667	35.1333333333333	35.1333333333333	13
52.8	17.6	17.6	17.6	35.2	35.2	13
52.9	17.6333333333333	17.6333333333333	17.6333333333333	35.2666666666667	35.2666666666667	13
53.0	17.6666666666667	17.6666666666667	17.6666666666667	35.3333333333333	35.3333333333334	13

53.1	17.7	17.7	17.7	35.4	35.4	13
53.2	17.7333333333333	17.7333333333333	17.7333333333333	35.4666666666667	35.4666666666667	13
53.3	17.7666666666667	17.7666666666667	17.7666666666667	35.5333333333333	35.5333333333333	13
53.4	17.8	17.8	17.8	35.6	35.6	13
53.5	17.8333333333333	17.8333333333334	17.8333333333333	35.6666666666667	35.6666666666667	13
53.6	17.8666666666667	17.8666666666667	17.8666666666667	35.7333333333333	35.7333333333333	13
53.7	17.9	17.9	17.9	35.8	35.8	13
53.8	17.9333333333333	17.9333333333334	17.9333333333333	35.8666666666666	35.8666666666667	13
53.9	17.9666666666667	17.9666666666667	17.9666666666667	35.9333333333333	35.9333333333333	13
54.0	18.0	18.0	18.0	36.0	36.0	13

54.1	18.0333333333333	18.0333333333334	18.0333333333333	36.0666666666667	36.0666666666667	13
54.2	18.0666666666667	18.0666666666667	18.0666666666667	36.1333333333333	36.1333333333334	13
54.3	18.1	18.1	18.1	36.2	36.2	13
54.4	18.1333333333333	18.1333333333334	18.1333333333333	36.2666666666666	36.2666666666667	13
54.5	18.1666666666667	18.1666666666667	18.1666666666667	36.3333333333333	36.3333333333334	13
54.6	18.2	18.2	18.2	36.4	36.4	13
54.7	18.2333333333333	18.2333333333334	18.2333333333333	36.4666666666667	36.4666666666667	13
54.8	18.2666666666666	18.2666666666667	18.2666666666667	36.5333333333333	36.5333333333333	13
54.9	18.3	18.3	18.3	36.6	36.6	13
55.0	18.3333333333333	18.3333333333334	18.3333333333333	36.6666666666666	36.6666666666667	13

55.1	18.3666666666666	18.3666666666667	18.3666666666667	36.7333333333333	36.7333333333334	13
55.2	18.4	18.4	18.4	36.8	36.8	13
55.3	18.4333333333333	18.4333333333334	18.4333333333333	36.8666666666666	36.8666666666667	13
55.4	18.4666666666666	18.4666666666667	18.4666666666667	36.9333333333333	36.9333333333334	13
55.5	18.5	18.5	18.5	37.0	37.0	13
55.6	18.5333333333333	18.5333333333333	18.5333333333333	37.0666666666667	37.0666666666667	14
55.7	18.5666666666667	18.5666666666667	18.5666666666667	37.1333333333333	37.1333333333333	14
55.8	18.6	18.6	18.6	37.2	37.2	14
55.9	18.6333333333333	18.6333333333333	18.6333333333333	37.2666666666667	37.2666666666667	14
56.0	18.6666666666667	18.6666666666667	18.6666666666667	37.3333333333334	37.3333333333334	14

56.1	18.7	18.7	18.7	37.4	37.4	14
56.2	18.7333333333333	18.7333333333333	18.7333333333333	37.4666666666666	37.4666666666667	14
56.3	18.7666666666667	18.7666666666667	18.7666666666667	37.5333333333334	37.5333333333333	14
56.4	18.8	18.8	18.8	37.6	37.6	14
56.5	18.8333333333333	18.8333333333333	18.8333333333333	37.6666666666667	37.6666666666667	14
56.6	18.8666666666667	18.8666666666667	18.8666666666667	37.7333333333333	37.7333333333333	14
56.7	18.9	18.9	18.9	37.8	37.8	14
56.8	18.9333333333333	18.9333333333333	18.9333333333333	37.8666666666666	37.8666666666667	14
56.9	18.9666666666667	18.9666666666667	18.9666666666667	37.9333333333334	37.9333333333334	14
57.0	19.0	19.0	19.0	38.0	38.0	14

57.1	19.0333333333333	19.0333333333333	19.0333333333333	38.0666666666667	38.0666666666667	14
57.2	19.0666666666667	19.0666666666667	19.0666666666667	38.1333333333333	38.1333333333333	14
57.3	19.1	19.1	19.1	38.2	38.2	14
57.4	19.1333333333333	19.1333333333334	19.1333333333333	38.2666666666667	38.2666666666667	14
57.5	19.1666666666667	19.1666666666667	19.1666666666667	38.3333333333333	38.3333333333334	14
57.6	19.2	19.2	19.2	38.4	38.4	14
57.7	19.2333333333333	19.2333333333333	19.2333333333333	38.4666666666667	38.4666666666667	14
57.8	19.2666666666667	19.2666666666667	19.2666666666667	38.5333333333333	38.5333333333333	14
57.9	19.3	19.3	19.3	38.6	38.6	14
58.0	19.3333333333333	19.3333333333334	19.3333333333333	38.6666666666667	38.6666666666667	14

58.1	19.3666666666667	19.3666666666667	19.3666666666667	38.7333333333333	38.7333333333334	14
58.2	19.4	19.4	19.4	38.8	38.8	14
58.3	19.4333333333333	19.4333333333334	19.4333333333333	38.8666666666667	38.8666666666667	14
58.4	19.4666666666667	19.4666666666667	19.4666666666667	38.9333333333333	38.9333333333334	14
58.5	19.5	19.5	19.5	39.0	39.0	14
58.6	19.5333333333333	19.5333333333334	19.5333333333333	39.0666666666666	39.0666666666667	14
58.7	19.5666666666667	19.5666666666667	19.5666666666667	39.1333333333333	39.1333333333333	14
58.8	19.6	19.6	19.6	39.2	39.2	14
58.9	19.6333333333333	19.6333333333334	19.6333333333333	39.2666666666667	39.2666666666667	14
59.0	19.6666666666666	19.6666666666667	19.6666666666667	39.3333333333333	39.3333333333334	14

59.1	19.7	19.7	19.7	39.4	39.4	14
59.2	19.7333333333333	19.7333333333334	19.7333333333333	39.4666666666667	39.4666666666667	14
59.3	19.7666666666666	19.7666666666667	19.7666666666667	39.5333333333333	39.5333333333333	14
59.4	19.8	19.8	19.8	39.6	39.6	14
59.5	19.8333333333333	19.8333333333334	19.8333333333333	39.6666666666666	39.6666666666667	14
59.6	19.8666666666666	19.8666666666667	19.8666666666667	39.7333333333333	39.7333333333334	14
59.7	19.9	19.9	19.9	39.8	39.8	14
59.8	19.9333333333333	19.9333333333334	19.9333333333333	39.8666666666666	39.8666666666667	14
59.9	19.9666666666666	19.9666666666667	19.9666666666667	39.9333333333333	39.9333333333334	14
60.0	20.0	20.0	20.0	40.0	40.0	14

60.1	20.0333333333333	20.0333333333333	20.0333333333333	40.0666666666667	40.0666666666667	15
60.2	20.0666666666667	20.0666666666667	20.0666666666667	40.1333333333333	40.1333333333333	15
60.3	20.1	20.1	20.1	40.2	40.2	15
60.4	20.1333333333333	20.1333333333333	20.1333333333333	40.2666666666667	40.2666666666667	15
60.5	20.1666666666667	20.1666666666667	20.1666666666667	40.3333333333334	40.3333333333334	15
60.6	20.2	20.2	20.2	40.4	40.4	15
60.7	20.2333333333333	20.2333333333333	20.2333333333333	40.4666666666667	40.4666666666667	15
60.8	20.2666666666667	20.2666666666667	20.2666666666667	40.5333333333333	40.5333333333333	15
60.9	20.3	20.3	20.3	40.6	40.6	15
61.0	20.3333333333333	20.3333333333333	20.3333333333333	40.6666666666666	40.6666666666667	15

61.1	20.3666666666667	20.3666666666667	20.3666666666667	40.7333333333333	40.7333333333333	15
61.2	20.4	20.4	20.4	40.8	40.8	15
61.3	20.4333333333333	20.4333333333333	20.4333333333333	40.8666666666666	40.8666666666667	15
61.4	20.4666666666667	20.4666666666667	20.4666666666667	40.9333333333333	40.9333333333333	15
61.5	20.5	20.5	20.5	41.0	41.0	15
61.6	20.5333333333333	20.5333333333333	20.5333333333333	41.0666666666667	41.0666666666667	15
61.7	20.5666666666667	20.5666666666667	20.5666666666667	41.1333333333333	41.1333333333334	15
61.8	20.6	20.6	20.6	41.2	41.2	15
61.9	20.6333333333333	20.6333333333333	20.6333333333333	41.2666666666667	41.2666666666666	15
62.0	20.6666666666667	20.6666666666667	20.6666666666667	41.3333333333333	41.3333333333333	15

62.1	20.7	20.7	20.7	41.4	41.4	15
62.2	20.7333333333333	20.7333333333333	20.7333333333333	41.4666666666667	41.4666666666667	15
62.3	20.7666666666667	20.7666666666667	20.7666666666667	41.5333333333334	41.5333333333333	15
62.4	20.8	20.8	20.8	41.6	41.6	15
62.5	20.8333333333333	20.8333333333334	20.8333333333333	41.6666666666666	41.6666666666667	15
62.6	20.8666666666667	20.8666666666667	20.8666666666667	41.7333333333333	41.7333333333333	15
62.7	20.9	20.9	20.9	41.8	41.8	15
62.8	20.9333333333333	20.9333333333334	20.9333333333333	41.8666666666667	41.8666666666667	15
62.9	20.9666666666667	20.9666666666667	20.9666666666667	41.9333333333333	41.9333333333334	15
63.0	21.0	21.0	21.0	42.0	42.0	15

63.1	21.0333333333333	21.0333333333333	21.0333333333333	42.0666666666667	42.0666666666667	17
63.2	21.0666666666667	21.0666666666667	21.0666666666667	42.1333333333333	42.1333333333333	17
63.3	21.1	21.1	21.1	42.2	42.2	17
63.4	21.1333333333333	21.1333333333333	21.1333333333333	42.2666666666667	42.2666666666667	17
63.5	21.1666666666667	21.1666666666667	21.1666666666667	42.3333333333333	42.3333333333334	17
63.6	21.2	21.2	21.2	42.4	42.4	17
63.7	21.2333333333333	21.2333333333333	21.2333333333333	42.4666666666667	42.4666666666667	17
63.8	21.2666666666667	21.2666666666667	21.2666666666667	42.5333333333333	42.5333333333333	17
63.9	21.3	21.3	21.3	42.6	42.6	17
64.0	21.3333333333333	21.3333333333333	21.3333333333333	42.6666666666666	42.6666666666666	17

64.1	21.3666666666667	21.3666666666667	21.3666666666667	42.7333333333333	42.7333333333333	18
64.2	21.4	21.4	21.4	42.8	42.8	18
64.3	21.4333333333333	21.4333333333333	21.4333333333333	42.8666666666667	42.8666666666667	18
64.4	21.4666666666667	21.4666666666667	21.4666666666667	42.9333333333333	42.9333333333333	18
64.5	21.5	21.5	21.5	43.0	43.0	18
64.6	21.5333333333333	21.5333333333333	21.5333333333333	43.0666666666667	43.0666666666667	18
64.7	21.5666666666667	21.5666666666667	21.5666666666667	43.1333333333333	43.1333333333333	18
64.8	21.6	21.6	21.6	43.2	43.2	18
64.9	21.6333333333333	21.6333333333333	21.6333333333333	43.2666666666667	43.2666666666667	18
65.0	21.6666666666667	21.6666666666667	21.6666666666667	43.3333333333333	43.3333333333333	18

65.1	21.7	21.7	21.7	43.4	43.4	18
65.2	21.7333333333333	21.7333333333333	21.7333333333333	43.4666666666667	43.4666666666667	18
65.3	21.7666666666667	21.7666666666667	21.7666666666667	43.5333333333333	43.5333333333333	18
65.4	21.8	21.8	21.8	43.6	43.6	18
65.5	21.8333333333333	21.8333333333333	21.8333333333333	43.6666666666667	43.6666666666667	18
65.6	21.8666666666667	21.8666666666667	21.8666666666667	43.7333333333333	43.7333333333333	18
65.7	21.9	21.9	21.9	43.8	43.8	18
65.8	21.9333333333333	21.9333333333333	21.9333333333333	43.8666666666667	43.8666666666667	18
65.9	21.9666666666667	21.9666666666667	21.9666666666667	43.9333333333333	43.9333333333333	18
66.0	22.0	22.0	22.0	43.9999999999999	44.0	18

66.1	22.0333333333333	22.0333333333333	22.0333333333333	44.0666666666667	44.0666666666667	18
66.2	22.0666666666667	22.0666666666667	22.0666666666667	44.1333333333334	44.1333333333334	18
66.3	22.1	22.1	22.1	44.2	44.2	18
66.4	22.1333333333333	22.1333333333333	22.1333333333333	44.2666666666667	44.2666666666667	18
66.5	22.1666666666667	22.1666666666667	22.1666666666667	44.3333333333334	44.3333333333334	18
66.6	22.2	22.2	22.2	44.4	44.3999999999999	18
66.7	22.2333333333333	22.2333333333333	22.2333333333333	44.4666666666666	44.4666666666666	18
66.8	22.2666666666667	22.2666666666667	22.2666666666667	44.5333333333333	44.5333333333333	18
66.9	22.3	22.3	22.3	44.6	44.6	18
67.0	22.3333333333333	22.3333333333333	22.3333333333333	44.6666666666666	44.6666666666666	18

67.1	22.3666666666667	22.3666666666667	22.3666666666667	44.7333333333333	44.7333333333333	18
67.2	22.4	22.4	22.4	44.8	44.8	18
67.3	22.4333333333333	22.4333333333333	22.4333333333333	44.8666666666666	44.8666666666666	18
67.4	22.4666666666667	22.4666666666667	22.4666666666667	44.9333333333333	44.9333333333334	18
67.5	22.5	22.5	22.5	44.9999999999999	45.0	18
67.6	22.5333333333333	22.5333333333333	22.5333333333333	45.0666666666667	45.0666666666667	18
67.7	22.5666666666667	22.5666666666667	22.5666666666667	45.1333333333334	45.1333333333334	18
67.8	22.6	22.6	22.6	45.1999999999999	45.2000000000001	18
67.9	22.6333333333333	22.6333333333333	22.6333333333333	45.2666666666667	45.2666666666667	18
68.0	22.6666666666667	22.6666666666667	22.6666666666667	45.3333333333334	45.3333333333334	18

68.1	22.7	22.7	22.7	45.3999999999999	45.4	18
68.2	22.7333333333333	22.7333333333333	22.7333333333333	45.4666666666667	45.4666666666667	18
68.3	22.7666666666667	22.7666666666667	22.7666666666667	45.5333333333333	45.5333333333333	18
68.4	22.8	22.8	22.8	45.6	45.6	18
68.5	22.8333333333333	22.8333333333333	22.8333333333333	45.6666666666666	45.6666666666665	18
68.6	22.8666666666667	22.8666666666667	22.8666666666667	45.7333333333333	45.7333333333333	18
68.7	22.9	22.9	22.9	45.8000000000001	45.8000000000001	18
68.8	22.9333333333333	22.9333333333333	22.9333333333333	45.8666666666666	45.8666666666666	18
68.9	22.9666666666667	22.9666666666667	22.9666666666667	45.9333333333333	45.9333333333333	18
69.0	23.0	23.0	23.0	46.0	46.0	18

69.1	23.0333333333333	23.0333333333333	23.0333333333333	46.0666666666667	46.0666666666666	18
69.2	23.0666666666667	23.0666666666667	23.0666666666667	46.1333333333333	46.1333333333334	18
69.3	23.1	23.1	23.1	46.1999999999999	46.2	18
69.4	23.1333333333333	23.1333333333333	23.1333333333333	46.2666666666667	46.2666666666666	18
69.5	23.1666666666667	23.1666666666667	23.1666666666667	46.3333333333333	46.3333333333333	18
69.6	23.2	23.2	23.2	46.3999999999999	46.4	18
69.7	23.2333333333333	23.2333333333333	23.2333333333333	46.4666666666667	46.4666666666666	18
69.8	23.2666666666667	23.2666666666667	23.2666666666667	46.5333333333334	46.5333333333334	18
69.9	23.3	23.3	23.3	46.6	46.6000000000001	18
70.0	23.3333333333333	23.3333333333333	23.3333333333333	46.6666666666666	46.6666666666667	18

70.1	23.3666666666667	23.3666666666667	23.3666666666667	46.7333333333333	46.7333333333333	19
70.2	23.4	23.4	23.4	46.8	46.8	19
70.3	23.4333333333333	23.4333333333333	23.4333333333333	46.8666666666667	46.8666666666667	19
70.4	23.4666666666667	23.4666666666667	23.4666666666667	46.9333333333334	46.9333333333334	19
70.5	23.5	23.5	23.5	46.9999999999999	46.9999999999999	19
70.6	23.5333333333333	23.5333333333333	23.5333333333333	47.0666666666667	47.0666666666667	19
70.7	23.5666666666667	23.5666666666667	23.5666666666667	47.1333333333333	47.1333333333333	19
70.8	23.6	23.6	23.6	47.2	47.2	19
70.9	23.6333333333333	23.6333333333333	23.6333333333333	47.2666666666666	47.2666666666667	19
71.0	23.6666666666667	23.6666666666667	23.6666666666667	47.3333333333333	47.3333333333333	19

71.1	23.7	23.7	23.7	47.4000000000001	47.4	19
71.2	23.7333333333333	23.7333333333333	23.7333333333333	47.4666666666667	47.4666666666667	19
71.3	23.7666666666667	23.7666666666667	23.7666666666667	47.5333333333333	47.5333333333333	19
71.4	23.8	23.8	23.8	47.6	47.6	19
71.5	23.8333333333333	23.8333333333333	23.8333333333333	47.6666666666666	47.6666666666666	19
71.6	23.8666666666667	23.8666666666667	23.8666666666667	47.7333333333333	47.7333333333333	19
71.7	23.9	23.9	23.9	47.7999999999999	47.7999999999999	19
71.8	23.9333333333333	23.9333333333333	23.9333333333333	47.8666666666666	47.8666666666667	19
71.9	23.9666666666667	23.9666666666667	23.9666666666667	47.9333333333334	47.9333333333333	19
72.0	24.0	24.0	24.0	48.0	48.0	19

72.1	24.0333333333333	24.0333333333333	24.0333333333333	48.0666666666666	48.0666666666666	19
72.2	24.0666666666667	24.0666666666667	24.0666666666667	48.1333333333333	48.1333333333333	19
72.3	24.1	24.1	24.1	48.1999999999999	48.1999999999999	19
72.4	24.1333333333333	24.1333333333333	24.1333333333333	48.2666666666666	48.2666666666667	19
72.5	24.1666666666667	24.1666666666667	24.1666666666667	48.3333333333334	48.3333333333333	19
72.6	24.2	24.2	24.2	48.4000000000001	48.3999999999999	19
72.7	24.2333333333333	24.2333333333333	24.2333333333333	48.4666666666667	48.4666666666668	19
72.8	24.2666666666667	24.2666666666667	24.2666666666667	48.5333333333332	48.5333333333332	19
72.9	24.3	24.3	24.3	48.5999999999999	48.6	19
73.0	24.3333333333333	24.3333333333333	24.3333333333333	48.6666666666667	48.6666666666667	19

73.1	24.3666666666667	24.3666666666667	24.3666666666667	48.7333333333334	48.7333333333335	20
73.2	24.4	24.4	24.4	48.8	48.8	20
73.3	24.4333333333333	24.4333333333333	24.4333333333333	48.8666666666667	48.8666666666668	20
73.4	24.4666666666667	24.4666666666667	24.4666666666667	48.9333333333331	48.9333333333334	20
73.5	24.5	24.5	24.5	48.9999999999999	48.9999999999998	20
73.6	24.5333333333333	24.5333333333333	24.5333333333333	49.0666666666666	49.0666666666668	20
73.7	24.5666666666667	24.5666666666667	24.5666666666667	49.1333333333333	49.1333333333334	20
73.8	24.6	24.6	24.6	49.1999999999999	49.2000000000001	20
73.9	24.6333333333333	24.6333333333333	24.6333333333333	49.2666666666667	49.2666666666667	20
74.0	24.6666666666667	24.6666666666667	24.6666666666667	49.3333333333334	49.3333333333334	20

74.1	24.7	24.7	24.7	49.4	49.9	20
74.2	24.7333333333333	24.7333333333333	24.7333333333333	49.4666666666667	49.4666666666666	20
74.3	24.7666666666667	24.7666666666667	24.7666666666667	49.5333333333333	49.5333333333333	20
74.4	24.8	24.8	24.8	49.6000000000001	49.6000000000001	20
74.5	24.8333333333333	24.8333333333333	24.8333333333333	49.6666666666667	49.6666666666665	20
74.6	24.8666666666667	24.8666666666667	24.8666666666667	49.7333333333333	49.7333333333334	20
74.7	24.9	24.9	24.9	49.7999999999999	49.7999999999999	20
74.8	24.9333333333333	24.9333333333333	24.9333333333333	49.8666666666666	49.8666666666666	20
74.9	24.9666666666667	24.9666666666667	24.9666666666667	49.9333333333333	49.9333333333333	20
75.0	25.0	25.0	25.0	50.0000000000001	50.0000000000001	20

75.1	25.0333333333333	25.0333333333333	25.0333333333333	50.0666666666666	50.0666666666666	20
75.2	25.0666666666667	25.0666666666667	25.0666666666667	50.1333333333333	50.1333333333333	20
75.3	25.1	25.1	25.1	50.2000000000001	50.2000000000001	20
75.4	25.1333333333333	25.1333333333333	25.1333333333333	50.2666666666666	50.2666666666666	20
75.5	25.1666666666667	25.1666666666667	25.1666666666667	50.3333333333332	50.3333333333335	20
75.6	25.2	25.2	25.2	50.4000000000003	50.4000000000001	20
75.7	25.2333333333333	25.2333333333333	25.2333333333333	50.4666666666666	50.4666666666666	20
75.8	25.2666666666666	25.2666666666667	25.2666666666667	50.5333333333333	50.5333333333333	20
75.9	25.3	25.3	25.3	50.6000000000001	50.6000000000002	20
76.0	25.3333333333333	25.3333333333333	25.3333333333333	50.6666666666668	50.6666666666667	20

76.1	25.3666666666667	25.3666666666667	25.3666666666667	50.7333333333333	50.7333333333333	20
76.2	25.4	25.4	25.4	50.8	50.8	20
76.3	25.4333333333333	25.4333333333333	25.4333333333333	50.8666666666665	50.8666666666665	20
76.4	25.4666666666667	25.4666666666667	25.4666666666667	50.9333333333333	50.933333333333	20
76.5	25.5	25.5	25.5	50.9999999999998	51.0	20
76.6	25.5333333333333	25.5333333333333	25.5333333333333	51.0666666666665	51.0666666666666	20
76.7	25.5666666666667	25.5666666666667	25.5666666666667	51.1333333333333	51.1333333333335	20
76.8	25.6	25.6	25.6	51.1999999999998	51.2000000000001	20
76.9	25.6333333333333	25.6333333333333	25.6333333333333	51.2666666666665	51.2666666666667	20
77.0	25.6666666666667	25.6666666666667	25.6666666666667	51.3333333333335	51.3333333333335	20

77.1	25.7	25.7	25.7	51.3999999999999	51.4000000000001	20
77.2	25.7333333333333	25.7333333333333	25.7333333333333	51.4666666666669	51.4666666666667	20
77.3	25.7666666666667	25.7666666666667	25.7666666666667	51.5333333333329	51.5333333333332	20
77.4	25.8	25.8	25.8	51.6	51.6	20
77.5	25.8333333333333	25.8333333333333	25.8333333333333	51.6666666666665	51.6666666666667	20
77.6	25.8666666666667	25.8666666666667	25.8666666666667	51.7333333333334	51.7333333333333	20
77.7	25.9	25.9	25.9	51.8000000000003	51.8000000000001	20
77.8	25.9333333333333	25.9333333333333	25.9333333333333	51.8666666666666	51.8666666666666	20
77.9	25.9666666666667	25.9666666666667	25.9666666666667	51.9333333333332	51.9333333333333	20
78.0	26.0	26.0	26.0	51.9999999999999	52.0000000000001	20

78.1	26.0333333333333	26.0333333333333	26.0333333333333	52.0666666666665	52.0666666666670	20
78.2	26.0666666666667	26.0666666666667	26.0666666666667	52.1333333333334	52.1333333333334	20
78.3	26.1	26.1	26.1	52 2	52.2	20
78.4	26.1333333333333	26.1333333333333	26.1333333333333	52.2666666666664	52.2666666666665	20
78.5	26.1666666666667	26.1666666666667	26.1666666666667	52.3333333333333	52.3333333333333	20
78.6	26.2	26.2	26.2	52.3999999999997	52.4000000000004	20
78.7	26.2333333333333	26.2333333333333	26.2333333333333	52.4666666666669	52.4666666666665	20
78.8	26.2666666666666	26.2666666666667	16.2666666666667	52.5333333333333	52.5333333333333	20
78.9	26.3	26.3	26.3	52.5999999999997	52.6	20
79.0	26.3333333333333	26.3333333333333	26.3333333333333	52.6666666666664	52.6666666666664	20

79.1	26.3666666666667	26.3666666666667	26.3666666666667	52.7333333333333	52.7333333333333	20
79.2	26.4	26.4	26.4	52.8	52.8	20
79.3	26.4333333333333	26.4333333333334	26.4333333333333	52.8666666666663	52.8666666666667	20
79.4	26.4666666666666	26.4666666666667	26.4666666666667	52.9333333333334	52.9333333333338	20
79.5	26.5	26.5	26.5	52.9999999999999	52.9999999999999	20
79.6	26.5333333333333	26.5333333333334	26.5333333333333	53.0666666666666	53.0666666666667	20
79.7	26.5666666666666	26.5666666666667	26.5666666666667	53.1333333333334	53.1333333333333	20
79.8	26.6	26.6	26.6	53.2000000000007	53.2000000000005	20
79.9	26.6333333333333	26.6333333333334	26.6333333333333	53.2666666666663	53.2666666666661	20
80.0	26.6666666666666	26.6666666666667	26.6666666666667	53.3333333333337	53.3333333333333	20

80.1	26.7	26.7	26.7	53.3999999999999	53.3999999999995	20
80.2	26.7333333333333	26.7333333333334	26.7333333333333	53.4666666666663	53.4666666666667	20
80.3	26.7666666666666	26.7666666666667	26.7666666666667	53.5333333333337	53.5333333333333	20
80.4	26.8	26.8	26.8	53.6	53.6000000000001	20
80.5	26.8333333333333	26.8333333333334	26.8333333333333	53.6666666666664	53.6666666666667	20
80.6	26.8666666666666	26.8666666666667	26.8666666666667	53.7333333333342	53.7333333333335	20
80.7	26.8999999999999	26.9	26.9	53.8000000000004	53.8000000000004	20
80.8	26.9333333333333	26.9333333333334	26.9333333333333	53.8666666666667	53.8666666666663	20
80.9	26.9666666666666	26.9666666666667	26.9666666666667	53.9333333333328	53.933333333333	20
81.0	27.0	27.0000000000001	27.0	54.0000000000002	53.9999999999999	20

81.1	27.0333333333333	27.0333333333334	27.0333333333333	54.0666666666671	54.0666666666672	20
81.2	27.0666666666666	27.0666666666668	27.0666666666667	54.1333333333336	54.1333333333334	20
81.3	27.1	27.1000000000001	27.1	54.2000000000003	54.1999999999996	20
81.4	27.1333333333333	27.1333333333334	27.1333333333333	54.2666666666671	54.2666666666664	20
81.5	27.1666666666666	27.1666666666668	27.1666666666667	54.333333333334	54.3333333333335	20
81.6	27.2	27.2	27.2	54.3999999999999	54.3999999999996	21
81.7	27.2333333333333	27.2333333333333	27.2333333333333	54.4666666666662	54.4666666666659	21
81.8	27.2666666666666	27.2666666666667	27.2666666666667	54.5333333333337	54.5333333333337	21
81.9	27.3	27.3	27.3	54.6	54.6000000000005	21
82.0	27.3333333333333	27.3333333333334	27.3333333333333	54.666666666666	54.6666666666663	21

82.1	27.3666666666667	27.3666666666667	27.3666666666667	54.7333333333333	54.7333333333349	21
82.2	27.4	27.4	27.4	54.8000000000007	54.7999999999991	21
82.3	27.4333333333333	27.4333333333334	27.4333333333333	54.8666666666668	54.8666666666666	21
82.4	27.4666666666666	27.4666666666667	27.4666666666667	54.9333333333333	54.9333333333332	21
82.5	27.5	27.5	27.5	54.9999999999991	54.9999999999996	21
82.6	27.5333333333333	27.5333333333334	27.5333333333333	55.0666666666658	55.0666666666662	21
82.7	27.5666666666667	27.5666666666667	27.5666666666667	55.1333333333335	55.1333333333334	21
82.8	27.6	27.6	27.6	55.1999999999991	55.2000000000009	21
82.9	27.6333333333333	27.6333333333334	27.6333333333333	55.2666666666668	55.2666666666673	21
83.0	27.6666666666666	27.6666666666667	27.6666666666667	55.3333333333328	55.3333333333339	21

83.1	27.7	27.7000000000001	27.7	55.3999999999999	55.3999999999991	21
83.2	27.7333333333333	27.7333333333334	27.7333333333333	55.4666666666659	55.4666666666674	21
83.3	27.7666666666666	27.7666666666667	27.7666666666667	55.5333333333326	55.533333333334	21
83.4	27.7999999999999	27.8	27.8	55.6000000000005	55.6000000000001	21
83.5	27.8333333333333	27.8333333333334	27.8333333333333	55.6666666666667	55.6666666666667	21
83.6	27.8666666666666	27.8666666666667	27.8666666666667	55.7333333333336	55.7333333333336	22
83.7	27.9	27.9	27.9	55.7999999999989	55.8	22
83.8	27.9333333333333	27.9333333333333	27.9333333333333	55.8666666666677	55.8666666666652	22
83.9	27.9666666666666	27.9666666666667	27.9666666666667	55.9333333333334	55.9333333333333	22
84.0	28.0	28.0	28.0	55.999999999999	56.0	22

84.1	28.0333333333333	28.0333333333334	28.0333333333333	56.0666666666652	56.0666666666652	22
84.2	28.0666666666667	28.0666666666667	28.0666666666667	56.1333333333321	56.1333333333348	22
84.3	28.1	28.1	28.1	56.2000000000013	56.2	22
84.4	28.1333333333333	28.1333333333333	28.1333333333333	56.2666666666648	56.2666666666632	22
84.5	28.1666666666666	28.1666666666667	28.1666666666667	56.333333333333	56.3333333333308	22
84.6	28.2	28.2	28.2	56.3999999999969	56.4000000000055	22
84.7	28.2333333333333	28.2333333333334	28.2333333333333	56.466666666664	56.4666666666641	22
84.8	28.2666666666667	28.2666666666667	28.2666666666667	56.5333333333307	56.5333333333314	22
84.9	28.3	28.3	28.3	56.6000000000016	56.6000000000026	22
85.0	28.3333333333333	28.3333333333334	28.3333333333333	56.6666666666684	56.6666666666675	22

85.1	28.3666666666667	28.3666666666667	28.3666666666667	56.7333333333325	56.7333333333332	24
85.2	28.4	28.4	28.4	56.7999999999924	56.7999999999928	24
85.3	28.4333333333334	28.4333333333334	28.4333333333333	56.8666666666696	56.8666666666713	24
85.4	28.4666666666667	28.4666666666667	28.4666666666667	56.9333333333335	56.9333333333339	24
85.5	28.5	28.5	28.5	57.0000000000048	57.0000000000048	24
85.6	28.5333333333333	28.5333333333333	28.5333333333333	57.0666666666673	57.0666666666675	24
85.7	28.5666666666666	28.5666666666666	28.5666666666667	57.1333333333295	57.1333333333339	24
85.8	28.6	28.6	28.6	57.2000000000034	57.1999999999998	24
85.9	28.6333333333333	28.6333333333333	28.6333333333333	57.2666666666658	57.2666666666632	24
86.0	28.6666666666666	28.6666666666667	28.6666666666667	57.3333333333372	57.3333333333351	24

86.1	28.7	28.7	28.7	57.4000000000006	57.3999999999972	25
86.2	28.7333333333333	28.7333333333333	28.7333333333333	57.4666666666666	57.4666666666684	25
86.3	28.7666666666667	28.7666666666667	28.7666666666667	57.5333333333479	57.5333333333414	25
86.4	28.8	28.8	28.8	57.6000000000019	57.5999999999994	25
86.5	28.8333333333333	28.8333333333333	28.8333333333333	57.6666666666653	57.6666666666681	25
86.6	28.8666666666667	28.8666666666667	28.8666666666667	57.7333333333302	57.7333333333334	25
86.7	28.9	28.9	28.9	57.8000000000179	57.8000000000042	25
86.8	28.9333333333333	28.9333333333333	28.9333333333333	57.8666666666619	57.8666666666793	25
86.9	28.9666666666667	28.9666666666667	28.9666666666667	57.9333333333363	57.933333333337	25
87.0	29.0	29.0	29.0	57.9999999999965	57.9999999999989	25

87.1	29.0333333333334	29.0333333333334	29.0333333333333	58.0666666666639	58.0666666666744	25
87.2	29.0666666666667	29.0666666666667	29.0666666666667	58.1333333333413	58.1333333333414	25
87.3	29.1	29.1	29.1	58.1999999999993	58.1999999999998	25
87.4	29.1333333333333	29.1333333333334	29.1333333333333	58.2666666666834	58.266666666673	25
87.5	29.1666666666667	29.1666666666667	29.1666666666667	58.3333333333679	58.3333333333393	25
87.6	29.1999999999999	29.1999999999999	29.2	58.3999999999971	58.3999999999824	25
87.7	29.2333333333333	29.2333333333333	29.2333333333333	58.4666666666901	58.4666666667034	25
87.8	29.2666666666667	29.2666666666667	29.2666666666667	58.533333333335	58.5333333333184	25
87.9	29.3	29.3	29.3	58.5999999999612	58.5999999999914	25
88.0	29.3333333333333	29.3333333333333	29.3333333333333	58.6666666666315	58.6666666666284	25

88.1	29.3666666666667	29.3666666666667	29.3666666666667	58.733333333314	58.733333333278	25
88.2	29.3999999999999	29.3999999999999	29.4	58.7999999999859	58.8000000000001	25
88.3	29.4333333333334	29.4333333333334	29.4333333333333	58.8666666666633	58.866666666607	25
88.4	29.4666666666666	29.4666666666666	29.4666666666667	58.9333333333201	58.9333333333019	25
88.5	29.4999999999999	29.4999999999999	29.5	59.0000000000214	59.0000000000199	25
88.6	29.5333333333333	29.5333333333333	29.5333333333333	59.0666666667506	59.0666666666822	25
88.7	29.5666666666666	29.5666666666666	29.5666666666667	59.1333333334654	59.1333333333562	25
88.8	29.6	29.6	29.6	59.2000000001351	59.2000000001857	25
88.9	29.6333333333332	29.6333333333332	29.6333333333333	59.2666666668588	59.2666666666706	25
89.0	29.6666666666667	29.6666666666668	29.6666666666667	59.3333333332771	59.3333333335188	25

89.1	29.6999999999999	29.6999999999999	29.7	59.3999999988641	59.3999999995545	25
89.2	29.7333333333332	29.7333333333333	29.7333333333333	59.4666666671306	59.4666666670669	25
89.3	29.7666666666667	29.7666666666667	29.7666666666667	59.533333333372	59.5333333326907	25
89.4	29.8000000000002	29.8000000000003	29.8	59.5999999991632	59.599999999938	25
89.5	29.8333333333331	29.8333333333332	29.8333333333333	59.6666666660645	59.666666666093	25
89.6	29.8666666666663	29.8666666666663	29.8666666666667	59.7333333286348	59.7333333266396	25
89.7	29.8999999999998	29.8999999999999	29.9	59.8000000088871	59.8000000117526	25
89.8	29.9333333333328	29.9333333333329	29.9333333333333	59.8666666970208	59.8666666744432	25
89.9	29.9666666666667	29.9666666666668	29.9666666666667	59.9333328065517	59.9333330317522	25
90.0	30.0	30.0000000000001	30.0	（ 2 ）	（ 3 ）	25

According to the calculation above, the value of Angle e(i,1) and e(i,2) calculated according to graphical constructions and the exact value e*(1) is kept within 1*10^(--13.) (Except for E=89.4°--89.8°).

Conclusion: Using this graphical construction method, central angles of 20°.40° …… ,can be easily constructed. So, the nonagon and octadecagon within a circle can also be constructed consequently.

　Reference

<<Cihai. Science and engineering volume 1 of 2>> P.28, The Angle Trisection problem. ( Shanghai Dictionary Publishing House, 1978.9)

4 Sep 2002.

Notes:

(1). Use a graphical construction method, combine the three free orderly points on the three line segments and make it naturally and gradually converge to a decided fixed angle.

(2). (3). Because E=90° and the linear equation of slope equaling tg90° is required in this calculation, so there’s no solution.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Any questions, please mail to the following address. (wangjianyou@online.sh.cn) .