揭 开 << 三 等 分 角 问 题 >> 的 神 秘 面 纱

                           王   长   院

摘要;众所周知;《 三等分角问题 》之谜由来已久. 然而,对于任意给定一个角E(360°≥E＞0°),这个角E的三
     等分角就已经确定。本文介绍一种名为《三动点自然收敛法 ⑴》,就是用《尺规作图》、按照《作图公法》,
     将任意角E三等分的方法.

关键词    三等分角,    三动点自然收敛法,    尺规作图 .

本文由    1.作图 ,     2.计算论证二部分.

                                      1. 作 图

                  任意给定一个角E,首先确定E角在平面直角坐标系中所在的位置。

    a. 令;E角的顶角为O点,一边的顶点为X点,另一边的顶点为y'点。即;∠XOy'＝E (如图一).

 b. 用直尺延长XO边,以O点为中点,延长边与X点方向相反，令; X方向为正向，延长边方向为负向。 OX为平面

     直角坐标的X轴,以O点为圆心作半径为r的圆,圆弧与X轴相交的交点分别;正向为A点, 负向为A'点.

 c. 以A、A'二点为圆心分别作半径为R的圆( R＞r ),这二圆的圆弧之间有二个交点, 取X轴上方的交点为F点,X轴

     下方的交点为F'点。作一直线分别经过F、F'二点,则:这一直线必然经过O点.(菱形对角线垂直)即;FF'⊥AA'.

     令;FF' 直线在O点的上方为正向,在O点的下方为负向.在直线FF'的正向取一点为Y点,使：OY=OX。至此,平面

     直角坐标系YOX已经确立。

d. 现在可以把E角在YOX--坐标系中的位置区分为三个区域. 1. 90°≥E＞0°,    2. 180°≥E＞90° , 

   3. 360°≥E＞180°。    (如图二)。

 e. 本文以下作图,圆半径均取r(r为任意给定的值),作圆不再一一续述。　

 f. 本文在以下作图中( 90°≥E＞0°),圆规在以X轴上的动点Q(i)为圆心作圆,圆弧与直线L2相交的交点,以及以

     直线Oy'上的动点Q'(i)为圆心所作的圆,圆弧与直线L1相交的交点.一般都有二交点(当E=90°时,交点只有 

     一点).这二交点在直线L2上分别为R(i)及r(i)，取|BR(i)|>|Br(i)|, 即;r(i)是线段 BR(i)中的一点。同理.

     在直 线L1上交点分别为R'(i)及r'(i)，取|AR'(i) |>|Ar'(i) |, 即;r'(i)是线段 AR'(i)中的一点。但本

     文所介绍的方法是只选取直线L2上的交点R(i)与直线L1上的交点R'(i),而将直线L2上的交点r(i)及直线L1

    上的交点r'(i)舍弃.(如图三).(主要在以下作图 1.1.5-1.1.8 中).作图中不再一一续述.

  g. 本文以下作图,任意给定角为E,且;E=e1+e2+e3 .　

1.1.1  当; 90°≥E ＞0°时.以O点为圆心作一圆,圆弧与X轴相交的交点为A点,与直线Oy'相交的交点为B点。

1.1.2  分别以A、B 二点为圆心作圆,二圆弧的交点为Z点(这二圆的圆弧间还有一个相交点,为O点(舍弃)). 

       连接OZ, 则；OZ是E的角平分线。

1.1.3  分别作经过A、Z点的直线L1,经过B、Z点的直线L2。直线L1与直线L2相交的交点为Z点。在四边形OAZB

       中,因为;OA=AZ=BZ=OB=r,所以OAZB是平行四边形(菱形), OA//L2,OB//L1 。(如图四).

1.1.4  令;直线OZ与AB圆弧相交的交点为z'。三动点( P(i). P'(i) ,Q(i). Q'(i), R(i). R'(i) )的分布分别为：

       a. P(i)、P'(i) 分别为Az' 圆弧与Bz' 圆弧上的一动点(其中P(1).P'(1)分别为Az' 圆弧与Bz'

          圆弧上的一任意点), 

       b. Q(i)、Q'(i) 分别为X轴与直线Oy' 上一动点,  

       c. R(i)、R'(i) 分别为直线L2与直线L1上一动点( i=1、2、3 …… )。

1.1.5  以Az'圆弧上的一动点P(i)为圆心作一圆( 其中初始点P(1)为Az'圆弧上任意一点 ),圆弧与X轴相交的

        交点为 Q(i)( 圆弧与X轴另一交点为O点.舍弃 ).以Q(i)为圆心作一圆,圆弧与直线L2相交的交点为R(i)

        (另一交点r(i)舍弃).。连接OR(i),直线OR(i)与Az' 圆弧相交的交点为P(i+1)。　

1.1.6  以P(i+1)为圆心作圆.       

       a.当:lim|P(i+1) – P(i)|≠0时 ( P(i+1)取代;1.1.5中的P(i) ). 重复到1.1.5 中作图。

       b.当;lim|P(i+1) – P(i)|=0 , lim|Q(i+1) – Q(i)|=0 , lim|R(i+1) – R(i)|=0 , 则;P(i+1)与P(i)

         重合,P(i+1)=P(i).Q(i+1)与Q(i)重合,Q(i+1)=Q(i)。R(i+1)与R(i)重合,R(i+1)=R(i)。

        P(i)是直线OR(i+1)上的`一定点,令;∠XOR(i)=e1。

1.1.7 以Bz'圆弧上的一动点P'(i) 为圆心作一圆( 其中初始点P'(1)为Bz' 圆弧上任意一点 ),圆弧与直线Oy' 

       相交的交点为Q'(i)( 圆弧与Oy'另一交点为O点.舍弃 ). 以Q'(i)为圆心作一圆,圆弧与直线L1相交的交

       点为R'(i) (另一交点r'(i)舍弃)。连接OR'(i),直线OR'(i)与Bz' 圆弧相交的交点为P'(i+1) 。

1.1.8  以P'(i+1) 为圆心作圆.        

        a.当:lim|P' (i+1) - P'(i)|≠0时 ( P' (i+1)取代;1.1.7中的P'(i)),重复到1.1.7中作图。

        b.当; lim|P'(i+1) - P'(i)|=0 , lim|Q'(i+1) - Q'(i)|=0 , lim|R'(i+1) - R'(i)|=0 ,

        则;P' (i+1)与 P'(i)重合,P'(i+1)=P'(i), Q'(i+1)与Q'(i)重合,Q'(i+1)=Q'(i), 

        R'(i+1)与R'(i)重合,R'(i+1)=R'(i), P'(i)是直线OR'(i+1)上的一定点,

          令;∠y'OR'(i)=e3 .∠R(i)0R'(i)=e2。 (如图五 ).　

1.1.9     (a).证明e1、e2、e3的关系 .因为：直线P(i)Q(i)将三角形OR(i)Q(i)分成二个等腰三角形OP(i)Q(i)与

            P(i)Q(i)R(i),其中；|OP(i)|= |P(i)Q(i)|=|Q(i)R(i)|=r, 所以：e1=∠OQ(i)P(i).

            因为;∠Q(i)P(i)R(i)=2*e1(三角形的一外角等于二个相邻内角和). 在三角形P(i)Q(i)R(i)中,

            ∠Q(i)P(i)R(i)=∠Q(i)R(i)P(i) ,所以：∠Q(i)R(i)P(i)=2*e1.∠Q(i)R(i)P(i) =∠Q(i)R(i)O.

            (分别过B点与R(i)点向X轴作垂线,垂足分别为C点与D点,在直角三角形OBC与直角三角形Q(i)R(i)D中,

            因为：|OB|=|Q(i)R(i)|=r,|BC|=|R(i)D|(二平行线之间等距离).所以;直角三角形OBC≡直角三角形

            Q(i)R(i)D),∠R(i)Q(i)D=∠BOC=E 。因为：∠R(i)Q(i)D=∠R(i)Q(i)X=E.

            ∠R(i)Q(i）X=∠OR(i)Q(i)+e1=3*e1 ,所以：E=3*e1 , e1=E/3 .( 如图六 )。

            同理可证;∠R'(i)Q'(i)y' =E=3*e3 ,e3=E/3。因为：E=e1+e2+e3 ,所以：e2=E-e1-e3=E/3 ,

            即:e1=e2=e3=E/3。

       (b). 因为取P(1)为Az' 弧上的任意一点,是否会出现;P(i)-->Q(i)-->R(i)-->P(i+1)-->Q(i+1)-->R(i+1)

             -->…… ,而始终做不到P(i+1)与P(i)重合 ?。回答是否定的。当：90°≥E＞0°时,只要用本文以上

            介绍的《三动点自然收敛法》作图方法经过有限次的步骤作图, P(i+1)自然会与P(i)重合，

            e(i)收敛 E/3 , 这是必然规律！。

1.2.1   当;180°≥E＞90°时, 先作E角平分线Oy'' .使;∠XOy''=∠y''Oy' =E/2 , 90 °≥XOy’’＞0°, 

          在∠XOy''中作三等分角,使;∠XOy''=q1+q2+q3,且;q1=q2=q3。令;e1=q1+q2, e1的一边与X轴

          重合,另一边与O点为圆心的圆弧上的交点是P'(i)点,取AP'(i)圆弧为一定值,用这一定值可以将E以O点

          为圆心的圆弧上截分成e1、e2、e3分别所对的弧。因此,当：180°≥E＞90°时,只要将E角平均分成二

          等分角,在这二等分角之一的第一分角作三等分角(q1.q2.q3),取q1+q2的圆弧为一定值可以将E以O点

          为圆心的圆弧上分成三等份弧,将分成的三等份弧上的交点与O点作连线,则：可将E角分成三等分角。

1.3.1  当;360°≥E＞180°时, 先将E角平均分成四等分角,使;∠XOy'''=E/4, 90°≥XOy’’’＞0°.在∠XOy''' 

         中作三等分角,使;∠XOy''' =q1+q2+q3,且：q1=q2=q3。以q1+q2所对的圆弧为一定值在以O点为

         圆心的圆弧上截,可将E角所对的圆弧分成六等份弧,取每二等份弧为一个e(i),则：六等份弧可分成

         e1.e2.e3。因此.当360°≥E ＞180°时，只要将E角平均分成四等分角, 将这四等分角之一的第一分

         角分成三等分角(q1.q2.q3),取q1+q2所对的圆弧为一定值可以将E角以O点为圆心的圆弧上分成六

         等份弧,以X轴与弧的交点(A点)为初始点,每二等份弧的交点与O点作连线,则：

         可将E角分成(e1.e2.e3)三等分角。 

                           2 .  计  算

                       本 文 计 算 分 二 部 分

1. 举例计算. 将 E=0.123456789° 分成三等分角.              

2. 将 E=0.1° . 0.2°.  ┅┅. 89.9°.90°.的计算e(i)分角结果例表如下.

     在运算求根中;

      a.在一般方程式;aX^2+bX+c=0中;由于 ;X1={-b+sqr(b^2-4*a*c)}/(2*a),    

       X2={-b-sqr(b^2-4*a*c)}/(2*a). 在计算中只求X1的根.将X2的根舍弃.

      b.在(Xr-Xq)^2+(Yr-Yq)^2=r^2 中. 在计算中只求;(Xr-Xq)=sqr(r^2-(Yr-Yq)^2),

       而将;(Xr-Xq)=-sqr(r^2-(Yr-Yq)^2)舍弃.  

     c.在(Xq-Xp)^2+(Yq-Yp)^2=r^2中. 在计算中只求;(Xq-Xp)=sqr(r^2-(Yq-Yp)^2),

      而将;(Xq-Xp)=-sqr(r^2-(Yq-Yp)^2)舍弃.

       (因为;90°≥E＞0°,在作图中取直线L1上交点R'(i)及取直线L2上交点R(i),舍弃直线L1上交点r'(i)及

       舍弃直线L2上交点r(i).并且舍弃与0点的交点). 在后面的计算中不一一解释.

2.1.1 任意给定一个角E(90°≥E ＞0°).首先确定其E角在直角坐标系中的各坐标点.( 如图七 ). 它 们 

         各自坐标点及直线方程分别为; A( r,0 ), z'( Xz' , Yz') , B( Xb , Yb )。L2=Yb. 或.

         z'((1+sqr(1+k^2))/sqr((1+sqr(1+k^2))^2+ k^2)*r , k*r/sqr((1+sqr(1+k^2))^2+k^2). 

         B( r/sqr(1+k^2),k*r/sqr(1+k^2)). L2=k*r/sqr(1+k^2).   k=tgE .y'=k*x. .  L1=k*(X-r).  

 2.1.2. 因为初始点P(1), P'(1)分别是Az' 弧.Bz'弧上的任意一点,为了证明e(i)角最终收敛于定值E/3.再此不

            妨将P(1)及P'(1)设定在Az'弧及Bz'弧的顶点上.　      

       令;  a;P(1)=A ( r , 0 ),计算出的E中分角为;e(i,1) 。     

            b;P(1)=z'( Xz' ,Yz'),计算出的E中分角为;e(i,2)。   

            c;P'(1)=z'( Xz',Yz'),计算出的E中分角为;e(i,3).。   

            d;P'(1)=B ( Xb ,Yb ),计算出的E中分角为;e(i,4) 。

              ( 如图八 )。

  2.1.3. 令;任意角;E=0.123456789° .    圆规半径; r=9876543210   

  则;斜率k=tg( 0.123456789º)=0.00215473078668851 .　A( 9876543210 , 0 ) ，

    B( 9876520282.35261 , 21281242.3177386 )  ,     L2=21281242.3177386.    

   y'=0.00215473078668851*X ,  L1=0.00215473078668851*( X-9876543210 )  

   z'( 9876537478.08649 , 10640627.3342238 ).

  所以; 当i=3时,  e(3,1)=e(3,2)=E/3=0.041152263゜.

                  e(3,3)=e(3,4)=2*E/3=0.082304526゜.

  本例题中.无论;P(1)=A 或 P(1)=z' .二根分角线Y(3,1)与Y(3,2)自然重合.且与X轴夹角都等于.E/3。

                 P'(1)=z' 或 P'(1)=B .二根分角线Y(3,3)与Y(3,4)自然重合.且与X轴夹角都等于.2*E/3。

2.2.根据2.1中的举例方法.本文介绍；当;E=0.1゜、0.2゜……89.9゜、90゜时.

         初始点; P(1)=A点时.分角线Y(i,1)与X轴的交角为；e( i , 1)。

              P(1)=z'点时.分角线Y(i,2)与X轴的交角为；e( i , 2)。

                 P'(1)=z'点时.分角线Y(i,3)与X轴的交角为；e( i , 3 )。

                P'(1)=B点时.分角线Y(i,4)与X轴的交角为；e( i , 4 )。

      E角中的分角; e(i,1). e(i,2). e(i,3). e(i,4).各自的分角计算结果如下;( i=1.2.…….25 ).

   （其中.e*(1)=E/3是精确值. 供与作图计算出的E角中的分角;e( i , 1 ). e( i , 2 )作比较）.

              ( 令; pi=3.14159265358979   , r=1 ).